Ragionare per casi

Competenza — Ragionare per casi.

Presente nei capitoli

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Atomi collegati

275 atomi collegati.

01 Numeri e operazioni fondamentali

• Cinque interi consecutivi composti
• Coppie di primi a distanza 6
• Divisibilità per 6
• Il numero 247 è primo?
• Il numero di Euclide dei primi fino a 13
• Il più piccolo numero ambiguo in Paritania
• L’unica terna di primi dispari consecutivi
• La formula genera sempre numeri primi?
• Multiplo di 45 con sole cifre 0 e 5
• Numeri primi minori di sessanta
• Numeri uguali alla somma dei cubi delle cifre
• Primalità di n fattoriale meno uno
• Resti che precedono il divisore
• Resto 1 dividendo per 3, 4, 5 e 6
• Scrivere 50 come somma di due quadrati
• Stabilire se un numero è primo
• Terzetti di primi a distanza due

03 Frazioni algebriche

• La cancellazione fortunata
• La frazione più semplice tra un terzo e due quinti
• Ordinare quattro frazioni

04 Percentuali

• Lo stesso errore conta diversamente
• Tra il 40% e il 50%

05 Equazioni di primo grado

• Discussione di un’equazione parametrica
• Equazione fratta con parametro
• Equazioni letterali e parametri

06 Sistemi di equazioni lineari

• Casi degeneri di Gauss
• Discussione di un sistema al variare di k
• Inventa un sistema dato il risultato (riduzione)
• Sistema con parametro risolto con Cramer
• Sistema lineare con parametro (riduzione)

07 Teoria degli insiemi

• Da simboli a parole e valore di verità
• Determinare valori di verità da una premessa
• Distinguere equivalenze e ordini
• Insiemi transitivi
• Ipotesi, conclusione e controesempio
• Negazione di proposizioni
• Negazione di una proposizione universale
• Operazioni tra insiemi numerici con intervalli
• Riconoscere proposizioni atomiche e composte
• Tautologia contraddizione o nessuna delle due
• Tavola di verità dei connettivi
• Tavola di verità della disgiunzione esclusiva
• Tavola di verità e connettivo nascosto
• Valore di verità di espressioni logiche
• Verifica di un’equivalenza con la tavola di verità
• Vero o falso con le disuguaglianze
• Vero o falso su appartenenza e inclusione

08 Fondamenti di geometria euclidea

• Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

09 Metodo di lavoro — come risolvere un problema

• Cinque tecniche per sbloccarsi
• Le quattro mosse del risolutore

10 Equazioni di secondo grado e fratte

• Cardano e la formula del secondo grado
• Equazione biquadratica
• La regola dei segni di Cartesio

11 Disequazioni

• Caso a negativo, Delta negativo — sempre negativa
• Caso Delta negativo — parabola sempre positiva
• Caso Delta zero — parabola tangente
• Costruire una disequazione data la tabella dei segni
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Disequazione $(x-1)^2(x+2)<0$
• Disequazione $|2x-1|<|x+3|$
• Disequazione $|x-3|+|x+2|\le 9$
• Disequazione biquadratica $x^4-5x^2+4\ge 0$
• Disequazione con valore assoluto $|x+4|>5$
• Disequazione di secondo grado (soluzioni esterne)
• Disequazione di secondo grado (soluzioni interne)
• Disequazione di terzo grado $x^3-4x<0$
• Disequazione fratta
• (1−2x)
• (1+x)
• (2−x) ≥ 1
• Disequazione fratta di primo grado
• (1−2x)
• Disequazioni fratte (II)
• Disequazioni fratte con studio del segno
• Disequazioni fratte con tabella dei segni
• Disequazioni intere di vario grado
• Disequazioni intere e prodotto di fattori
• Equazioni e disequazioni di secondo grado con studio del segno
• I sei casi della parabola
• Inventa una disequazione dato il risultato (I)
• Inventa una disequazione dato il risultato (II)
• Inventare una disequazione dato il risultato
• Una disequazione letterale tipica

12 La parabola

• Casi misti con due valori assoluti
• Caso particolare - modulo maggiore o uguale a B(x)
• Disequazione con moduli a cinque zeri
• Disequazione con modulo di trinomio (|x²-5x+6| ≥ 2x-3)
• (x-2) ≤ 0)
• Equazioni con valore assoluto
• Equazioni e disequazioni con valori assoluti
• Funzioni con valore assoluto
• Grafici di funzioni con valore assoluto
• Intersezioni tra parabola con modulo e retta
• Metodo generale dello sdoppiamento
• Natura delle intersezioni col discriminante
• Retta con un solo punto in comune con la parabola senza essere tangente
• Somma di due moduli minore o uguale a 6 (|x-1|+|x+2| ≤ 6)
• Somma di tre moduli minore di 4 (|x|+|x-1|+|x-2| < 4)

13 Radicali ed equazioni irrazionali

• Condizioni di esistenza dei radicali
• Disequazione non stretta
• Disequazione radice maggiore
• Disequazione radice minore
• Due equazioni irrazionali
• Equazione irrazionale con quadrato
• Tipologia I — radice maggiore
• Tipologia II — radice minore

14 Equivalenza e teorema di Pitagora

• Contare i triangoli interi di perimetro 15

17 Disequazioni irrazionali

• Disequazione irrazionale $\sqrt{2x+1}<x-1$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x-2}\ge 4$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x+1}>\sqrt{x+5}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{4-x}\le x+2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-1}>x-3$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-2}\ge\sqrt{4-x}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-3x}\le 2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-5}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+3}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+5}\ge x-1$
• Disequazioni con radicali, moduli e frazioni
• Equazioni e disequazioni miste con radicali e moduli
• Esempio — radice maggiore di una retta
• Esercizio svolto — Disequazione fratta con radicale
• Esercizio svolto — Somma di due radicali
• Esercizio svolto — Tipologia I con radice stretta
• Esercizio svolto — Tipologia II con semicirconferenza
• Il metodo per la radice maggiore — Tipologia II
• Il metodo per la radice minore — Tipologia I
• Mappa decisionale — che tipo di disequazione ho davanti?
• Riconoscere le somme sempre non negative
• Sei disequazioni irrazionali

18 Fasci di rette

• Esempio — Secante, tangente, esterna
• Esempio — Tangenza a una parabola
• Fascio di rette e condizione di tangenza a una parabola
• Fascio per un punto e fascio a sostegno fisso
• Studio completo di un fascio

20 Circonferenza nel piano cartesiano

• Metodo del delta e metodo della distanza
• Quando un’equazione è una circonferenza

22 Iperbole e funzione omografica

• Classificazione di sei coniche
• Discussione di una conica dipendente da un parametro
• Riconoscere una conica

23 Funzioni, linguaggio e proprietà

• Classificare funzioni dai loro grafici
• Composizione che dà un valore assoluto
• Composizione di funzioni con diagrammi di Venn
• Continuità della parte intera
• Continuità nei punti di raccordo
• Diagramma di Venn di relazioni con proprietà assegnate
• Dominio di una funzione irrazionale fratta
• Dominio di una radice fratta
• Dominio naturale
• Funzione iniettiva non suriettiva con Venn e grafico
• Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche da diagrammi a frecce
• Grafici con valore assoluto e termine x per modulo di x
• Grafici di funzioni con valori assoluti e intersezioni con gli assi
• Grafico di somma di valori assoluti
• Grafico di una funzione con un valore assoluto
• Grafico e immagine di |x-1|-|x+1|
• I test di sequenze non hanno risposta unica
• Il polinomio personalizzato
• Iniettività, suriettività e insieme immagine
• Insieme immagine e iniettività
• Intersezione di una regione parabolica e un rombo
• Parametri per la continuità
• Proprietà delle relazioni di inclusione e appartenenza
• Regioni del piano definite da disequazioni
• Risolvere f(x)=3 a tratti
• Valutazione di una funzione a tratti

25 Funzione esponenziale

• Disequazione esponenziale con base minore di uno
• Esempi guidati con base minore di 1
• I casi banali dell’esponenziale positiva

26 Funzione logaritmica

• Casi base con base minore di 1
• Disequazione razionale esponenziale-logaritmica
• Regola del verso nelle disequazioni

27 Metodi unificanti per equazioni e disequazioni

• Disequazione con valore assoluto
• Disequazione irrazionale
• Disequazione logaritmica
• Idea 1: sostituzione
• Idea 2: applicazione di una funzione iniettiva
• Idea 3: applicazione di una funzione monotona (disequazioni)
• Una checklist per l’esame orale

28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan

• Come ridurre un angolo al primo quadrante
• Conversione tra polari e cartesiane
• Da cartesiane a polari
• Dominio, immagine e segno
• Equazione goniometrica elementare
• 2
• Valori con gli archi associati

31 Equazioni goniometriche

• Definizione e metodo di risoluzione
• Equazione omogenea di secondo grado

32 Disequazioni goniometriche

• Disequazione con fattore lineare in seno e coseno e tangente
• Disequazione con la tangente al quadrato
• Disequazioni con valore assoluto e radici
• Il metodo dello studio del segno
• Prodotto di fattori con tabella del segno
• Prodotto di fattori e tabella del segno
• Scomposizione con la duplicazione
• Valore assoluto del coseno

33 Trigonometria dei triangoli

• Caso ambiguo del teorema dei seni
• Caso ambiguo due triangoli da due lati e un angolo
• Caso ambiguo e raggio del cerchio circoscritto

34 Combinatoria

• Anagrammi con il blocco GIO
• Cifre pari e dispari alternate
• Delegazione con almeno una ragazza
• Dimostrazione della formula di Tartaglia
• Il problema dei cappelli scambiati
• Numeri con almeno una cifra 7
• Parole con almeno una E
• Parole con tutte e tre le lettere
• Partizioni di 10 con parti al più 3
• Partizioni di 10 in esattamente tre parti
• Partizioni di 12 in esattamente tre parti
• Partizioni di 8 in parti distinte
• Partizioni in parti distinte e in parti dispari
• Tre A non adiacenti
• Tutte le partizioni di 6

35 Probabilità avanzata

• Bambine non adiacenti in fila
• Esempio — Dilemma del prigioniero
• Paradosso dei due figli
• Paradosso di Bertrand
• Paradosso di Monty Hall
• Problema — Le tre risposte di Bertrand
• Problema — Paradosso dei due figli nati di martedì
• Problema — Simulare Monty Hall con un dado
• Problema — Variante Monty Fall
• Somma almeno 9 con primo dado pari
• Strategia dominante e dominata

37 Geometria analitica nello spazio

• Distanze retta-piano e piano-piano
• Esempio - rette sghembe
• I quattro casi
• Posizione reciproca di due rette
• Posizione sfera-piano
• Posizioni reciproche retta-piano e angoli
• Sfera e piano
• Tre piani e punto comune

38 Geometria sintetica nello spazio

• I cinque solidi platonici

39 Successioni numeriche

• Il cinquantesimo numero non quadrato
• Il terzo numero squangolare
• Limiti tipici di successioni
• Quale disco alla diecimillesima mossa

40 Limiti di funzioni

• Esempi di punti di accumulazione
• Forme indeterminate
• Punti di accumulazione di insiemi
• Punto isolato e appartenenza al dominio
• Quando ha senso il limite

41 Continuità e discontinuità

• x
• Continuità nel punto di giunzione
• Determinare i parametri per la continuità
• Esempi di classificazione
• I tre tipi di discontinuità
• |x|
• Newton contro bisezione e casi di fallimento
• Parametri per continuità e derivabilità
• Raccordo continuo e liscio di parabola e logaritmo
• Raccordo continuo e liscio di parabola ed esponenziale

42 Derivate

• Classificare punti di non derivabilità
• Classificazione dei punti di non derivabilità
• Derivabilità di x·∛x
• Derivabilità e continuità
• Derivata di ln del valore assoluto di x
• Grafico con angoloso, cuspide e tangente verticale
• Non derivabilità e ricerca di massimi e minimi
• Parametro per la derivabilità
• Punto angoloso
• Punto angoloso di |ln x|
• Studio con parametro x su (x²+k)

43 Studio di funzione

• ‘Cubica ax³+bx²+cx: studio e ricostruzione dai vincoli’
• Ricostruzione dei parametri di 2ax³+bx²+cx
• Studio con parametro di x³+2x²−ax
• Studio di funzione con parametro
• Studio di funzione con parametro

44 Integrale

• Integrali irrazionali
• Integrazione delle frazioni algebriche

45 Teoremi del calcolo

• Teorema di Lagrange su funzione a tratti con parametri
• Teorema di Lagrange su funzione a tratti esponenziale

46 Equazioni differenziali

• Equazione caratteristica e i tre casi
• Massa-molla con attrito

47 Distribuzioni di probabilità

• Perché piccolo teorema di Fermat

Skill — Reasoning by cases.

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Linked atoms

275 linked atoms.

Numbers and fundamental operations

• Deciding whether a number is prime
• Divisibility by 6
• Does the formula always produce primes?
• Euclid’s number from the primes up to 13
• Five consecutive composite integers
• Is 247 prime?
• Multiple of 45 using only the digits 0 and 5
• Numbers equal to the sum of the cubes of their digits
• Primality of n factorial minus one
• Prime numbers below sixty
• Prime pairs six apart
• Prime triples spaced by two
• Remainder 1 when dividing by 3, 4, 5 and 6
• Remainders one less than the divisor
• The only triple of consecutive odd primes
• The smallest ambiguous number in Evenland
• Writing 50 as a sum of two squares

Algebraic fractions

• Ordering four fractions
• The lucky cancellation
• The simplest fraction between one third and two fifths

Percentages

• Between 40% and 50%
• The same error counts differently

First-degree equations

• Discussion of a parametric equation
• Fractional equation with a parameter
• Literal equations and parameters

Systems of linear equations

• Degenerate cases of Gauss
• Discussion of a system as k varies
• Invent a system given its solution (elimination)
• Linear system with a parameter (elimination)
• Parametric system solved with Cramer’s rule

Set theory

• Checking an equivalence with the truth table
• Determining truth values from one premise
• Distinguishing equivalences and orders
• From symbols to words and truth values
• Hypothesis, conclusion and counterexample
• Negation of a universal proposition
• Negation of statements
• Operations on numerical sets with intervals
• Recognizing atomic and compound statements
• Tautology contradiction or neither
• Transitive sets
• True or false on membership and inclusion
• True or false with inequalities
• Truth table and the hidden connective
• Truth table of the connectives
• Truth table of the exclusive disjunction
• Truth value of logical expressions

Foundations of Euclidean geometry

• Congruence criteria for right triangles

Working method — how to solve a problem

• Five techniques to get unstuck
• The four moves of the problem-solver

Quadratic and fractional equations

• A biquadratic equation
• Cardano and the quadratic formula
• Descartes’ rule of signs

Inequalities

• A quadratic inequality (external solutions)
• A quadratic inequality (internal solutions)
• A rational inequality
• A typical literal inequality
• Case a negative, Delta negative — always negative
• Case Delta negative — parabola always positive
• Case Delta zero — tangent parabola
• Constructing an inequality given the sign table
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Disequazione $(x-1)^2(x+2)<0$
• Disequazione $|2x-1|<|x+3|$
• Disequazione $|x-3|+|x+2|\le 9$
• Disequazione biquadratica $x^4-5x^2+4\ge 0$
• Disequazione con valore assoluto $|x+4|>5$
• Disequazione di terzo grado $x^3-4x<0$
• First-degree fractional inequality
• Fractional inequalities (II)
• Fractional inequalities with sign analysis
• (1−2x)
• (1+x)
• (2−x) ≥ 1
• (1−2x)
• Integer inequalities and product of factors
• Integer inequalities of various degrees
• Invent an inequality given its solution (I)
• Invent an inequality given its solution (II)
• Inventing an inequality given its solution set
• Rational inequalities with a sign table
• Second-degree equations and inequalities via sign study
• The six cases of the parabola

The parabola

• A line with a single common point with the parabola without being tangent
• Absolute-value inequality with five zeros
• Equations and inequalities with absolute values
• Equations with absolute value
• (x-2) ≤ 0)
• Functions with absolute value
• General splitting method
• Graphs of functions with absolute value
• Inequality with the absolute value of a trinomial (|x²-5x+6| ≥ 2x-3)
• Intersections between a parabola with an absolute value and a line
• Mixed cases with two absolute values
• Nature of the intercepts via the discriminant
• Special case - modulus greater than or equal to B(x)
• Sum of three absolute values less than 4 (|x|+|x-1|+|x-2| < 4)
• Sum of two absolute values less than or equal to 6 (|x-1|+|x+2| ≤ 6)

Surds and irrational equations

• An irrational equation via squaring
• Existence conditions of radicals
• Inequality with the root on the greater side
• Inequality with the root on the smaller side
• Non-strict inequality
• Two irrational equations
• Type I — root greater
• Type II — root smaller

Equivalence and Pythagoras’ theorem

• Counting integer triangles of perimeter 15

Irrational inequalities

• Decision map — what type of inequality am I facing?
• Disequazione irrazionale $\sqrt{2x+1}<x-1$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x-2}\ge 4$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x+1}>\sqrt{x+5}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{4-x}\le x+2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-1}>x-3$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-2}\ge\sqrt{4-x}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-3x}\le 2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-5}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+3}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+5}\ge x-1$
• Example — root larger than a line
• Inequalities with radicals, absolute values and fractions
• Mixed equations and inequalities with radicals and absolute values
• Recognising always-non-negative sums
• Six irrational inequalities
• The method for the larger root — Type II
• The method for the smaller root — Type I
• Worked exercise — Fractional inequality with a radical
• Worked exercise — Sum of two radicals
• Worked exercise — Type I with a strict root
• Worked exercise — Type II with a semicircle

Pencils of lines

• Complete study of a pencil
• Example — Secant, tangent, external
• Example — Tangency to a parabola
• Pencil of lines and tangency condition to a parabola
• Pencil through a point and pencil with a fixed base point

The circle in the Cartesian plane

• The delta method and the distance method
• When an equation is a circle

Hyperbola and homographic function

• Classifying six conics
• Discussion of a conic depending on a parameter
• Recognising a conic

Functions: language and properties

• Classifying functions from their graphs
• Composition of functions with Venn diagrams
• Composition yielding an absolute value
• Continuity at the junction points
• Continuity of the integer part
• Domain of a fractional radical
• Domain of a fractional surd function
• Evaluating a piecewise function
• Graph and image of |x-1|-|x+1|
• Graph of a function with one absolute value
• Graph of a sum of absolute values
• Graphs of functions with absolute values and axis intersections
• Graphs with absolute value and the term x times modulus of x
• Injective non-surjective function with Venn diagram and graph
• Injective, surjective, bijective functions from arrow diagrams
• Injectivity, surjectivity and image set
• Intersection of a parabolic region and a rhombus
• Natural domain
• Parameters for continuity
• Properties of the inclusion and membership relations
• Range and injectivity
• Regions of the plane defined by inequalities
• Sequence tests have no unique answer
• Solving f(x)=3 piecewise
• The personalized polynomial
• Venn diagram of relations with prescribed properties

Exponential function

• Exponential inequality with base below one
• Guided examples with base less than 1
• The trivial cases of the positive exponential

Logarithmic function

• Basic cases with base less than 1
• Rational exponential-logarithmic inequality
• Rule for the direction in inequalities

Unifying methods for equations and inequalities

• A checklist for the oral exam
• Idea 1: substitution
• Idea 2: applying an injective function
• Idea 3: applying a monotonic function (inequalities)
• Inequality with absolute value
• Irrational inequality
• Logarithmic inequality

The unit circle and the functions sine, cosine, tangent

• Conversion between polar and Cartesian
• Domain, range and sign
• Elementary trigonometric equation
• 2
• From Cartesian to polar
• How to reduce an angle to the first quadrant
• Values using associated arcs

Trigonometric equations

• Definition and solution method
• Second-degree homogeneous equation

Trigonometric inequalities

• Absolute value of the cosine
• Factorisation with the double-angle formula
• Inequalities with absolute value and roots
• Inequality with a linear sine-cosine factor and a tangent
• Inequality with the tangent squared
• Product of factors and sign table
• Product of factors with sign table
• The sign-study method

Triangle trigonometry

• Ambiguous case — two triangles from two sides and an angle
• Ambiguous case and circumradius
• Ambiguous case of the law of sines

Combinatorics

• All the partitions of 6
• Alternating even and odd digits
• Anagrams containing the block GIO
• Delegation with at least one girl
• Numbers with at least one digit 7
• Partitions into distinct parts and into odd parts
• Partitions of 10 into exactly three parts
• Partitions of 10 with parts at most 3
• Partitions of 12 into exactly three parts
• Partitions of 8 into distinct parts
• Proof of Tartaglia’s formula
• The swapped hats problem
• Three non-adjacent A’s
• Words containing all three letters
• Words with at least one E

Advanced probability

• Bertrand’s Paradox
• Dominant and dominated strategy
• Example — Prisoner’s dilemma
• Girls not adjacent in a row
• Monty Hall paradox
• Problem — Bertrand’s three answers
• Problem — Monty Fall variant
• Problem — Simulating Monty Hall with a die
• Problem — The paradox of the two children born on a Tuesday
• Sum at least 9 with the first die even
• The two children paradox

Analytic geometry in space

• Example - skew lines
• Line-plane and plane-plane distances
• Relative position of two lines
• Relative positions of line and plane and angles
• Sphere and plane
• Sphere-plane position
• The four cases
• Three planes and a common point

Synthetic geometry in space

• The five Platonic solids

Numerical sequences

• The fiftieth non-square number
• The third square-triangular number
• Typical limits of sequences
• Which disc on the ten-thousandth move

Limits of Functions

• Accumulation points of sets
• Examples of accumulation points
• Indeterminate forms
• Isolated point and membership of the domain
• When the limit makes sense

Continuity and discontinuity

• x
• Continuity at the junction point
• Continuous and smooth junction of a parabola and a logarithm
• Continuous and smooth junction of a parabola and an exponential
• Determining the parameters for continuity
• Examples of classification
• |x|
• Newton versus bisection and cases of failure
• Parameters for continuity and differentiability
• The three types of discontinuity

Derivatives

• Classification of non-differentiability points
• Classifying points of non-differentiability
• Corner point
• Corner point of |ln x|
• Derivative of ln of the absolute value of x
• Differentiability and continuity
• Differentiability of x·∛x
• Graph with corner, cusp and vertical tangent
• Non-differentiability and the search for maxima and minima
• Parameter for differentiability
• Parametric study of x over (x²+k)

Curve sketching

• ‘Cubic ax³+bx²+cx: study and reconstruction from constraints’
• Curve sketching with a parameter
• Curve sketching with a parameter
• Parametric study of x³+2x²−ax
• Reconstructing the parameters of 2ax³+bx²+cx

Integral

• Integration of algebraic fractions
• Irrational integrals

Calculus theorems

• Lagrange’s theorem on a piecewise exponential function
• Lagrange’s theorem on a piecewise function with parameters

Differential equations

• Mass-spring with friction
• The characteristic equation and the three cases

Probability distributions

• Why Fermat’s little theorem