Limite di una successione

Il cuore del capitolo: la definizione rigorosa di limite di una successione, con i suoi tre quantificatori nidificati. Si distinguono successioni convergenti (limite finito), divergenti (limite infinito) e indeterminate, si raccolgono i limiti tipici di riferimento e si enuncia l’algebra dei limiti, con l’avvertenza sulle forme indeterminate.

• Limite finito e successioni convergenti
• Lettura linguistica dei quantificatori
• Limite infinito, successioni divergenti e indeterminate
• Limiti tipici di successioni
• Algebra dei limiti per successioni

The heart of the chapter: the rigorous definition of the limit of a sequence, with its three nested quantifiers. Convergent sequences (finite limit), divergent sequences (infinite limit) and indeterminate sequences are distinguished, the typical reference limits are collected, and the algebra of limits is stated, with the warning about indeterminate forms.

• Finite limit and convergent sequences
• Linguistic reading of the quantifiers
• Infinite limit, divergent and indeterminate sequences
• Typical limits of sequences
• Algebra of limits for sequences

L’idea centrale del capitolo è quella di limite: verso quale numero si “accumulano” i termini di una successione.

Definizione — Limite finito

Si dice che la successione $(a_n)$ ha limite $L\in\mathbb{R}$ (e si scrive $\lim_{n\to+\infty}a_n = L$, o più brevemente $a_n\to L$) se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un indice $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $|a_n - L|<\varepsilon$ per ogni $n\ge n_0$.

Una successione che ammette limite finito si dice convergente.

Osservazione — Lettura

“Per quanto piccolo $\varepsilon$ tu scelga, da un certo $n_0$ in poi tutti i termini sono a distanza minore di $\varepsilon$ da $L$.” I termini si accumulano attorno a $L$, lasciandone fuori al più un numero finito.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Successione convergente
Metodi: Successione limite
Competenze: Calcolare limiti

The central idea of the chapter is that of the limit: towards which number do the terms of a sequence “accumulate”.

Definition — Finite limit

The sequence $(a_n)$ is said to have limit $L\in\mathbb{R}$ (and one writes $\lim_{n\to+\infty}a_n = L$, or more briefly $a_n\to L$) if for every $\varepsilon>0$ there exists an index $n_0\in\mathbb{N}$ such that $|a_n - L|<\varepsilon$ for every $n\ge n_0$.

A sequence that admits a finite limit is said to be convergent.

Observation — Reading

“However small an $\varepsilon$ you choose, from a certain $n_0$ onwards all the terms are at a distance less than $\varepsilon$ from $L$.” The terms accumulate around $L$, leaving out at most a finite number of them.

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Convergent sequence
Methods: Limit of a sequence
Skills: Compute limits

La definizione di limite è un esercizio di logica: tre quantificatori in un ordine preciso, che non si può cambiare.

Osservazione — Lettura linguistica: $\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$

La definizione di limite ha tre quantificatori nidificati nell’ordine "$\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$". L’ordine non si può scambiare: "$\exists n_0\,\forall\varepsilon$" sarebbe falso (nessun singolo $n_0$ basta per tutti gli $\varepsilon$). Il valore $n_0$ dipende da $\varepsilon$: più piccolo è $\varepsilon$, più grande sarà (in generale) $n_0$.

La negazione di "$a_n\to L$" è quindi ”$\exists\varepsilon>0\,\forall n_0\,\exists n\ge n_0$ tale che $|a_n-L|\ge\varepsilon$”: esiste un livello $\varepsilon$ che la successione continua a oltrepassare per indici arbitrariamente grandi (Esty).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Quantificatori

The definition of a limit is an exercise in logic: three quantifiers in a precise order, which cannot be changed.

Observation — Linguistic reading: $\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$

The definition of a limit has three nested quantifiers in the order "$\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$". The order cannot be swapped: "$\exists n_0\,\forall\varepsilon$" would be false (no single $n_0$ suffices for all $\varepsilon$). The value $n_0$ depends on $\varepsilon$: the smaller $\varepsilon$ is, the larger (in general) $n_0$ will be.

The negation of "$a_n\to L$" is therefore ”$\exists\varepsilon>0\,\forall n_0\,\exists n\ge n_0$ such that $|a_n-L|\ge\varepsilon$”: there exists a level $\varepsilon$ that the sequence keeps exceeding for arbitrarily large indices (Esty).

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Quantifiers

Oltre al caso convergente, una successione può crescere senza limite oppure non stabilizzarsi affatto.

Definizione — Limite infinito

$a_n\to+\infty$ se per ogni $M>0$ esiste $n_0$ tale che $a_n > M$ per ogni $n\ge n_0$. Analogamente $a_n\to-\infty$. Una successione con limite infinito si dice divergente.

Se invece $(a_n)$ non ammette limite (né finito né infinito) si dice indeterminata (o oscillante).

Riassumendo, una successione può essere di tre tipi: convergente (limite finito), divergente (limite $\pm\infty$) oppure indeterminata (nessun limite).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Successione divergente · Successione indeterminata

Beyond the convergent case, a sequence may grow without bound or fail to settle down at all.

Definition — Infinite limit

$a_n\to+\infty$ if for every $M>0$ there exists $n_0$ such that $a_n > M$ for every $n\ge n_0$. Similarly $a_n\to-\infty$. A sequence with an infinite limit is said to be divergent.

If instead $(a_n)$ admits no limit (neither finite nor infinite) it is said to be indeterminate (or oscillating).

To sum up, a sequence can be of three types: convergent (finite limit), divergent (limit $\pm\infty$) or indeterminate (no limit).

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Divergent sequence · Indeterminate sequence

Alcuni limiti ricorrono così spesso da essere utili come riferimento immediato.

Esempio — Limiti tipici

• $a_n = 1/n \to 0$.
• $a_n = n \to +\infty$.
• $a_n = (-1)^n$: indeterminata (alterna $+1, -1$).
• $a_n = q^n$ (progressione geometrica): se $|q|<1$ tende a $0$; se $q = 1$ è costante $= 1$; se $q>1$ tende a $+\infty$; se $q\le -1$ è indeterminata.
• $a_n = n!/n^n \to 0$ (il fattoriale cresce meno di $n^n$).

Il caso $q^n$ è particolarmente importante: la potenza $n$-esima della ragione governa il comportamento di ogni progressione geometrica.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Progressione geometrica
Competenze: Calcolare limiti · Ragionare per casi

Some limits recur so often that they are useful as an immediate reference.

Example — Typical limits

• $a_n = 1/n \to 0$.
• $a_n = n \to +\infty$.
• $a_n = (-1)^n$: indeterminate (alternates $+1, -1$).
• $a_n = q^n$ (geometric progression): if $|q|<1$ it tends to $0$; if $q = 1$ it is constant $= 1$; if $q>1$ it tends to $+\infty$; if $q\le -1$ it is indeterminate.
• $a_n = n!/n^n \to 0$ (the factorial grows less than $n^n$).

The case $q^n$ is particularly important: the $n$-th power of the common ratio governs the behaviour of every geometric progression.

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Geometric progression
Skills: Compute limits · Reason by cases

I limiti di successioni si combinano seguendo le stesse regole valide per i limiti di funzioni.

Proprietà — Algebra dei limiti per successioni

Se $a_n\to a$ e $b_n\to b$ (entrambi finiti), allora: $a_n + b_n \to a+b, \qquad a_n\cdot b_n \to a\cdot b, \qquad \frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}\ \text{(se }b\ne 0\text{)}.$

Le forme indeterminate $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$ richiedono manipolazioni (gerarchia degli infiniti, scomposizione, razionalizzazione, …) esattamente come per i limiti di funzioni.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Algebra dei limiti · Forma indeterminata · Limite di successione
Competenze: Calcolare limiti

Limits of sequences combine following the same rules valid for limits of functions.

Property — Algebra of limits for sequences

If $a_n\to a$ and $b_n\to b$ (both finite), then: $a_n + b_n \to a+b, \qquad a_n\cdot b_n \to a\cdot b, \qquad \frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}\ \text{(se }b\ne 0\text{)}.$

The indeterminate forms $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$ require manipulations (hierarchy of infinities, factorisation, rationalisation, …) exactly as for limits of functions.

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Topics: Sequences
Concepts: Algebra of limits · Indeterminate form · Limit of a sequence
Skills: Compute limits