Derivata della funzione inversa

La derivata dell’inversa di una funzione biunivoca si ottiene come reciproco della derivata: in notazione di Leibniz, $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, di nuovo “come una frazione”. Chiude la sezione il legame fondamentale fra derivabilità e continuità.

• Derivata della funzione inversa
• Derivabilità e continuità

The derivative of the inverse of a bijective function is obtained as the reciprocal of the derivative: in Leibniz notation, $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, again “like a fraction”. The section closes with the fundamental link between differentiability and continuity.

• Derivative of the inverse function
• Differentiability and continuity

Se una funzione è invertibile, anche la sua inversa si può derivare: la derivata dell’inversa è il reciproco della derivata, valutata nel punto corrispondente.

Proprietà — Derivata della funzione inversa

Se $f$ è biunivoca e derivabile con $f'(x)\ne 0$, la derivata dell’inversa è: $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$ In notazione di Leibniz: $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{dy/dx}$ — di nuovo, “come una frazione”.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Funzione inversa · Notazione di leibniz
Competenze: Derivare

If a function is invertible, its inverse can also be differentiated: the derivative of the inverse is the reciprocal of the derivative, evaluated at the corresponding point.

Property — Derivative of the inverse function

If $f$ is a bijection and differentiable with $f'(x)\ne 0$, the derivative of the inverse is: $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$ In Leibniz notation: $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{dy/dx}$ — again, “like a fraction”.

Links

Topics: Derivatives
Concepts: Derivative · Inverse function · Leibniz notation
Skills: Differentiating

Fra derivabilità e continuità c’è un’implicazione precisa, ma in un solo verso: la derivabilità è più forte della continuità.

Osservazione — Derivabilità e continuità

Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora è continua in $x_0$ (condizione necessaria). Il viceversa è falso: $f(x)=|x|$ è continua in $0$ ma non derivabile (punto angoloso).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Continuita · Derivata · Punto angoloso
Competenze: Ragionare per casi

Between differentiability and continuity there is a precise implication, but in one direction only: differentiability is stronger than continuity.

Remark — Differentiability and continuity

If $f$ is differentiable at $x_0$, then it is continuous at $x_0$ (a necessary condition). The converse is false: $f(x)=|x|$ is continuous at $0$ but not differentiable (corner point).

Links

Topics: Derivatives
Concepts: Continuity · Derivative · Corner point
Skills: Reasoning by cases