Disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado si risolve quasi come un’equazione, ma con un’avvertenza fondamentale: ogni volta che moltiplichiamo o dividiamo per un numero negativo, dobbiamo ribaltare il segno di disuguaglianza. In questa sezione vediamo i principi di equivalenza, l’errore più frequente e alcuni esempi risolti, incluso il primo assaggio di disequazione fratta.

• Principi di equivalenza e cambio di verso
• Esempi di disequazioni di primo grado
• Disequazione fratta di primo grado

A first-degree inequality is solved almost like an equation, but with one fundamental caveat: every time we multiply or divide by a negative number, we must reverse the inequality sign. In this section we see the equivalence principles, the most frequent mistake and some worked examples, including the first taste of a fractional inequality.

• Equivalence principles and sign reversal
• Examples of first-degree inequalities
• First-degree fractional inequality

Una disequazione di primo grado si risolve quasi come un’equazione, ma con un’avvertenza fondamentale: ogni volta che moltiplichiamo o dividiamo per un numero negativo, dobbiamo ribaltare il segno di disuguaglianza.

Proprietà — Principi di equivalenza per le disequazioni

1. I principio (somma): si può sommare o sottrarre la stessa quantità ad entrambi i membri senza cambiare il verso.
2. II principio (prodotto positivo): si può moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero positivo senza cambiare il verso.
3. II principio (prodotto negativo): se si moltiplica o divide per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte.

Attenzione — L'errore più frequente

La regola del “cambio di verso” è la causa numero uno di errori nelle disequazioni. Ogni volta che fai un’operazione, chiediti: sto moltiplicando o dividendo per qualcosa di negativo? Se sì, ribalta il segno.

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Cambio di verso · Disequazione primo grado · Principio equivalenza
Competenze: Risolvere disequazioni

A first-degree inequality is solved almost like an equation, but with one fundamental caveat: every time we multiply or divide by a negative number, we must reverse the inequality sign.

Property — Equivalence principles for inequalities

1. First principle (addition): you can add or subtract the same quantity to both sides without changing the direction.
2. Second principle (positive product): you can multiply or divide both sides by the same positive number without changing the direction.
3. Second principle (negative product): if you multiply or divide by a negative number, the direction of the inequality is reversed.

Warning — The most frequent mistake

The “sign reversal” rule is the number one cause of errors in inequalities. Every time you perform an operation, ask yourself: am I multiplying or dividing by something negative? If so, flip the sign.

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Topics: Inequalities
Concepts: Sign reversal · First-degree inequality · Equivalence principle
Skills: Solving inequalities

Due esempi mostrano la meccanica di base: nel primo la soluzione è immediata, nel secondo dobbiamo ribaltare il verso perché dividiamo per un numero negativo. In entrambi i casi la soluzione è un intervallo che rappresentiamo sulla retta reale.

Esempio — Disequazione di primo grado semplice

Risolvere $3x-7 > 2x+1$. $3x-2x > 1+7 \implies x > 8.$ La soluzione è l’intervallo $\boxed{x > 8}$, ovvero $(8,+\infty)$.

Rappresentazione sulla retta:

Il pallino vuoto in $x=8$ indica che $8$ non fa parte della soluzione (la disequazione è stretta, $>$ e non $\ge$).

Esempio — Cambio di verso

Risolvere $-2x+5 \ge 3$. $-2x \ge -2 \;\Longrightarrow\; x \le 1$ Dividendo per $-2$ (numero negativo) il segno $\ge$ diventa $\le$. Soluzione: $\boxed{x\le 1}$.

Il pallino pieno in $x=1$ indica che $1$ appartiene alla soluzione ($\le$, non $<$).

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Cambio di verso · Disequazione primo grado · Intervallo
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

Two examples show the basic mechanics: in the first the solution is immediate, in the second we must reverse the direction because we divide by a negative number. In both cases the solution is an interval that we represent on the real line.

Example — Simple first-degree inequality

Solve $3x-7 > 2x+1$. $3x-2x > 1+7 \implies x > 8.$ The solution is the interval $\boxed{x > 8}$, that is $(8,+\infty)$.

Representation on the line:

The open circle at $x=8$ indicates that $8$ is not part of the solution (the inequality is strict, $>$ and not $\ge$).

Example — Sign reversal

Solve $-2x+5 \ge 3$. $-2x \ge -2 \;\Longrightarrow\; x \le 1$ Dividing by $-2$ (a negative number) the sign $\ge$ becomes $\le$. Solution: $\boxed{x\le 1}$.

The filled circle at $x=1$ indicates that $1$ belongs to the solution ($\le$, not $<$).

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Skills: Interpreting a graph · Solving inequalities

Con una disequazione fratta non possiamo liberarci del denominatore moltiplicando: non ne conosciamo il segno! Un primo approccio, prima di introdurre la tabella dei segni, è ragionare per casi su quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.

Esempio — Disequazione fratta di primo grado

Risolvere $\dfrac{2x+1}{x-3} > 0$.

Attenzione: non possiamo moltiplicare per $x-3$ senza sapere il suo segno! Per ora osserviamo che il rapporto è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno:

• Entrambi positivi: $2x+1 > 0$ e $x-3 > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$ e $x > 3 \implies x > 3$.
• Entrambi negativi: $2x+1 < 0$ e $x-3 < 0 \implies x < -\frac{1}{2}$ e $x < 3 \implies x < -\frac{1}{2}$.

Soluzione: $\boxed{x < -\tfrac{1}{2} \;\text{oppure}\; x > 3}$.

Il metodo sistematico (la tabella dei segni) generalizzerà questo ragionamento a qualunque disequazione razionale.

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Concetti: Disequazione fratta · Disequazione primo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

With a fractional inequality we cannot get rid of the denominator by multiplying: we do not know its sign! A first approach, before introducing the sign table, is to reason by cases about when numerator and denominator have the same sign.

Example — First-degree fractional inequality

Solve $\dfrac{2x+1}{x-3} > 0$.

Warning: we cannot multiply by $x-3$ without knowing its sign! For now we observe that the ratio is positive when numerator and denominator have the same sign:

• Both positive: $2x+1 > 0$ and $x-3 > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$ and $x > 3 \implies x > 3$.
• Both negative: $2x+1 < 0$ and $x-3 < 0 \implies x < -\frac{1}{2}$ and $x < 3 \implies x < -\frac{1}{2}$.

Solution: $\boxed{x < -\tfrac{1}{2} \;\text{oppure}\; x > 3}$.

The systematic method (the sign table) will generalise this reasoning to any rational inequality.

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