Tipi di discontinuità

Le discontinuità si classificano in tre tipi in base al comportamento dei limiti laterali: prima specie (salto), seconda specie (limite infinito o inesistente) e terza specie (eliminabile). Alcuni esempi concreti mostrano come applicare il criterio.

• I tre tipi di discontinuità
• Esempi di classificazione

Discontinuities are classified into three types according to the behaviour of the one-sided limits: first kind (jump), second kind (infinite or non-existent limit) and third kind (removable). A few concrete examples show how to apply the criterion.

• The three types of discontinuity
• Examples of classification

Quando in un punto la continuità viene a mancare, la discontinuità si classifica in tre tipi, a seconda di come si comportano i limiti laterali.

In sintesi — Tre tipi di discontinuità

1. Prima specie (salto): i limiti laterali esistono finiti ma sono diversi, $\lim_{x\to x_0^-}f(x) \ne \lim_{x\to x_0^+}f(x)$. L’ampiezza del salto è $\left|\lim^+ - \lim^-\right|$.
2. Seconda specie: almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste ($\pm\infty$ oppure oscillante).
3. Terza specie (eliminabile): il limite esiste ed è finito, $\lim_{x\to x_0}f(x) = L$, ma o $f(x_0)$ non è definito, o $f(x_0) \ne L$. Si può “eliminare” la discontinuità ridefinendo $f(x_0) = L$.

Il criterio di classificazione riguarda solo i limiti laterali: se esistono finiti ma diversi si ha un salto (prima specie); se almeno uno è infinito o inesistente si ha la seconda specie; se il limite esiste ma non coincide col valore (o il valore manca) la discontinuità è eliminabile (terza specie).

I tre tipi di discontinuità: salto (prima specie), asintoto/limite infinito (seconda specie), buco eliminabile (terza specie).

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Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita · Discontinuita prima specie · Discontinuita seconda specie · Discontinuita terza specie · Limite destro e sinistro
Metodi: Continuita tipi
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi

When continuity fails at a point, the discontinuity is classified into three types, according to how the one-sided limits behave.

In brief — Three types of discontinuity

1. First kind (jump): the one-sided limits exist and are finite but are different, $\lim_{x\to x_0^-}f(x) \ne \lim_{x\to x_0^+}f(x)$. The size of the jump is $\left|\lim^+ - \lim^-\right|$.
2. Second kind: at least one of the one-sided limits is infinite or does not exist ($\pm\infty$ or oscillating).
3. Third kind (removable): the limit exists and is finite, $\lim_{x\to x_0}f(x) = L$, but either $f(x_0)$ is not defined, or $f(x_0) \ne L$. The discontinuity can be “removed” by redefining $f(x_0) = L$.

The classification criterion concerns only the one-sided limits: if they exist finite but different one has a jump (first kind); if at least one is infinite or non-existent one has the second kind; if the limit exists but does not coincide with the value (or the value is missing) the discontinuity is removable (third kind).

The three types of discontinuity: jump (first kind), asymptote/infinite limit (second kind), removable hole (third kind).

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Vediamo due casi concreti: un salto (prima specie) e una discontinuità eliminabile (terza specie).

Esempio — Discontinuità di prima specie (salto)

Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x<1 \\ 3 & x=1 \\ 2x & x>1\end{cases}$ Allora $\lim_{x\to 1^-}x^2 = 1$; $\lim_{x\to 1^+}2x = 2$; $f(1) = 3$.

I limiti laterali sono finiti ma diversi ($1\ne 2$): si tratta di una discontinuità di prima specie (salto di ampiezza $|2-1|=1$). Il valore $f(1)=3$ è irrilevante per la classificazione: ciò che conta sono i limiti.

Esempio — Discontinuità eliminabile (terza specie)

Sia $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ per $x\ne 0$, non definita in $x=0$. Per il limite notevole $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,$ il limite esiste ed è finito, ma il punto $x=0$ non appartiene al dominio: la discontinuità è eliminabile (terza specie). Basta porre $f(0)=1$ per rendere la funzione continua.

Il confronto è istruttivo: nel primo caso il limite in $x_0$ non esiste (i due laterali differiscono), quindi la discontinuità è insanabile; nel secondo il limite esiste, e proprio per questo si può “riparare” la funzione ridefinendola nel punto.

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Let us look at two concrete cases: a jump (first kind) and a removable discontinuity (third kind).

Example — First-kind discontinuity (jump)

Let $f(x) = \begin{cases} x^2 & x<1 \\ 3 & x=1 \\ 2x & x>1\end{cases}$ Then $\lim_{x\to 1^-}x^2 = 1$; $\lim_{x\to 1^+}2x = 2$; $f(1) = 3$.

The one-sided limits are finite but different ($1\ne 2$): this is a first-kind discontinuity (jump of size $|2-1|=1$). The value $f(1)=3$ is irrelevant for the classification: what matters are the limits.

Example — Removable discontinuity (third kind)

Let $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ for $x\ne 0$, undefined at $x=0$. By the standard limit $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,$ the limit exists and is finite, but the point $x=0$ does not belong to the domain: the discontinuity is removable (third kind). It is enough to set $f(0)=1$ to make the function continuous.

The comparison is instructive: in the first case the limit at $x_0$ does not exist (the two one-sided limits differ), so the discontinuity is irreparable; in the second the limit exists, and precisely for this reason the function can be “repaired” by redefining it at the point.

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