Disequazioni goniometriche

Una disequazione goniometrica è una disequazione in cui l’incognita compare come argomento di funzioni trigonometriche. Il metodo generale è sempre lo stesso: ricondurre la disequazione a un prodotto di fattori elementari, studiare il segno di ciascun fattore sulla circonferenza goniometrica (o sul grafico), combinare i segni in una tabella e leggere la soluzione. Il capitolo parte dalle disequazioni elementari con $\sin$, $\cos$ e $\tan$, lette direttamente sulla circonferenza; passa poi al metodo dello studio del segno per le disequazioni scomponibili in fattori; e infine richiama, sul terreno goniometrico, le tecniche già viste per il valore assoluto e le radici.

Sezioni

• Disequazioni elementari
• Disequazioni con sostituzione e studio del segno
• Disequazioni con valore assoluto e radici

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

A trigonometric inequality is an inequality in which the unknown appears as the argument of trigonometric functions. The general method is always the same: reduce the inequality to a product of elementary factors, study the sign of each factor on the unit circle (or on the graph), combine the signs in a table and read the solution. The chapter starts from the elementary inequalities with $\sin$, $\cos$ and $\tan$, read directly on the circle; it then moves on to the sign-study method for inequalities that can be factorised; and finally it recalls, on trigonometric ground, the techniques already seen for the absolute value and for roots.

Sections

• Elementary inequalities
• Inequalities by substitution and sign study
• Inequalities with absolute value and roots

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Quando in una disequazione goniometrica compaiono anche valori assoluti o radici quadrate, non serve un metodo nuovo: si applicano le stesse tecniche già viste in Terza, con la sola differenza che i segni di seno, coseno e tangente si studiano sulla circonferenza.

Osservazione — Ripasso dalla Terza

Quando in una disequazione goniometrica compaiono anche valori assoluti o radici quadrate, si applicano gli stessi metodi visti nel Capitolo 18 (Disequazioni irrazionali) della Terza: sdoppiamento dei casi per il valore assoluto, e gestione dei due tipi $\sqrt{A(x)}\le B(x)$ (sistema a tre condizioni) e $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$ (unione di due casi). Il fatto che $A,B$ contengano funzioni goniometriche non cambia il metodo: i segni di seno, coseno, tangente si studiano sulla circonferenza.

Esempio — Disequazione goniometrica con valore assoluto

Risolvere $|\sin x| \le \dfrac{1}{2}$ in $[0,2\pi)$.

È la disequazione $|A| \le k$ con $k>0$, che equivale a $-\dfrac{1}{2} \le \sin x \le \dfrac{1}{2}$: un sistema di due disequazioni elementari.

• $\sin x \le \dfrac{1}{2}$ in $\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6},2\pi\right)$;
• $\sin x \ge -\dfrac{1}{2}$ in $\left[0,\dfrac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Intersecando le due condizioni: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6},2\pi\right)$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Disequazione irrazionale · Studio del segno · Valore assoluto
Funzioni: Seno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

When absolute values or square roots also appear in a trigonometric inequality, no new method is needed: the same techniques already seen in Year 3 are applied, with the sole difference that the signs of sine, cosine and tangent are studied on the circle.

Remark — Revision from Year 3

When absolute values or square roots also appear in a trigonometric inequality, the same methods seen in Chapter 18 (Irrational inequalities) of Year 3 are applied: splitting into cases for the absolute value, and handling the two types $\sqrt{A(x)}\le B(x)$ (a system of three conditions) and $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$ (a union of two cases). The fact that $A,B$ contain trigonometric functions does not change the method: the signs of sine, cosine and tangent are studied on the circle.

Example — Trigonometric inequality with absolute value

Solve $|\sin x| \le \dfrac{1}{2}$ on $[0,2\pi)$.

It is the inequality $|A| \le k$ with $k>0$, which is equivalent to $-\dfrac{1}{2} \le \sin x \le \dfrac{1}{2}$: a system of two elementary inequalities.

• $\sin x \le \dfrac{1}{2}$ on $\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6},2\pi\right)$;
• $\sin x \ge -\dfrac{1}{2}$ on $\left[0,\dfrac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Intersecting the two conditions: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6},2\pi\right)$

Links

Topics: Trigonometric inequalities
Concepts: Trigonometric inequality · Irrational inequality · Sign study · Absolute value
Functions: Sine
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities