Metodi unificanti per equazioni e disequazioni

Durante l’intero anno di Terza abbiamo risolto equazioni e disequazioni di molte “specie”: di secondo grado, fratte, irrazionali, con valore assoluto, esponenziali, logaritmiche. A prima vista ogni tipologia ha avuto il suo metodo dedicato. Ma se si guarda con attenzione, dietro tutti questi metodi si nasconde un piccolo numero di idee generali che funzionano ovunque. Questo capitolo le raccoglie: non introduce nulla di nuovo, ma offre una chiave di lettura che rende più facile riconoscere la strategia giusta di fronte a un esercizio “misto”. Le idee unificanti sono quattro — la sostituzione, l’applicazione di una funzione iniettiva, l’applicazione di una funzione monotona e lo studio del segno — e chiudono la sezione una checklist per l’esame orale e un gruppo di esercizi di riconoscimento della strategia.

Sezioni

• Idea 1: sostituzione
• Idea 2: applicazione di una funzione iniettiva
• Idea 3: applicazione di una funzione monotona
• Idea 4: studio del segno
• Una checklist per l’esame orale

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

Throughout the whole of Year Three we solved equations and inequalities of many “kinds”: quadratic, fractional, irrational, with absolute value, exponential, logarithmic. At first sight each type had its own dedicated method. But if one looks carefully, behind all these methods there hides a small number of general ideas that work everywhere. This chapter gathers them together: it introduces nothing new, but it offers a way of reading that makes it easier to recognise the right strategy when faced with a “mixed” exercise. The unifying ideas are four — substitution, the application of an injective function, the application of a monotonic function and the study of the sign — and the section closes with a checklist for the oral exam and a group of exercises on recognising the strategy.

Sections

• Idea 1: substitution
• Idea 2: applying an injective function
• Idea 3: applying a monotonic function
• Idea 4: study of the sign
• A checklist for the oral exam

Exercises

• All the chapter’s exercises

Se un’espressione complicata compare più volte in un’equazione o in una disequazione, si può darle un nome (una nuova variabile), risolvere nella nuova variabile, e poi tornare alla variabile originale. È il primo dei nostri metodi unificanti: molte equazioni apparentemente diverse si riducono, con una sostituzione ben scelta, a una banale equazione di secondo grado.

In sintesi — Casi tipici

• $(x^2)^2 - 5x^2 + 4 = 0$: pongo $t = x^2$ (con $t\ge 0$), risolvo $t^2 - 5t + 4 = 0$, trovo $t = 1$ o $t = 4$, torno a $x$: $x = \pm 1$ o $x = \pm 2$.
• $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$: pongo $t = 2^x$ (con $t>0$), risolvo $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0$: pongo $t = \log_3 x$, risolvo $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} - 2) = 3$: pongo $t = \sqrt{x}$ (con $t\ge 0$), risolvo $t(t-2)=3$, cioè $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Attenzione — Vincoli sulla nuova variabile

La variabile sostituita eredita dei vincoli di positività (o di altro genere) dalla natura dell’espressione che rappresenta. Non dimenticarli, altrimenti si introducono soluzioni false.

Lo schema del metodo, in quattro passi, è sempre lo stesso: partire dall’equazione complicata in $x$, sostituire, risolvere nella nuova variabile, tornare a $x$ scartando i valori che violano i vincoli.

Lo schema della sostituzione: dalla forma complicata in $x$ alla nuova variabile $t$, e ritorno.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione di secondo grado · Sostituzione
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni · Risolvere equazioni

If a complicated expression appears more than once in an equation or an inequality, we can give it a name (a new variable), solve in the new variable, and then return to the original variable. It is the first of our unifying methods: many apparently different equations reduce, with a well-chosen substitution, to a trivial quadratic equation.

In brief — Typical cases

• $(x^2)^2 - 5x^2 + 4 = 0$: set $t = x^2$ (with $t\ge 0$), solve $t^2 - 5t + 4 = 0$, find $t = 1$ or $t = 4$, return to $x$: $x = \pm 1$ or $x = \pm 2$.
• $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$: set $t = 2^x$ (with $t>0$), solve $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0$: set $t = \log_3 x$, solve $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} - 2) = 3$: set $t = \sqrt{x}$ (with $t\ge 0$), solve $t(t-2)=3$, that is $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Caution — Constraints on the new variable

The substituted variable inherits positivity constraints (or of another kind) from the nature of the expression it represents. Do not forget them, otherwise you introduce spurious solutions.

The scheme of the method, in four steps, is always the same: start from the complicated equation in $x$, substitute, solve in the new variable, return to $x$ discarding the values that violate the constraints.

The scheme of the substitution: from the complicated form in $x$ to the new variable $t$, and back.

Links

Topics: Unifying methods
Concepts: Existence conditions · Quadratic equation · Substitution
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities · Solving equations

Data un’equazione $f(x) = g(x)$, possiamo applicare a entrambi i membri una funzione iniettiva (cioè “invertibile”) senza perdere né aggiungere soluzioni. È l’idea che sta dietro a tante mosse che durante l’anno abbiamo imparato “a memoria”: elevare al quadrato, elevare al cubo, togliere gli esponenziali o i logaritmi.

In sintesi — Esempi di funzioni iniettive usate nell'anno

• $t\mapsto t^2$ è iniettiva su $[0,+\infty)$: se entrambi i membri sono $\ge 0$, si può elevare al quadrato conservando le soluzioni.
• $t\mapsto t^3$ è iniettiva su tutto $\mathbb{R}$: si può sempre elevare al cubo, senza dover distinguere casi.
• $t\mapsto a^t$ (esponenziale) è iniettiva su $\mathbb{R}$: se $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, allora $f(x) = g(x)$.
• $t\mapsto \log_a t$ (logaritmo) è iniettivo su $(0,+\infty)$: se $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ e $f,g>0$, allora $f(x) = g(x)$.

Osservazione

Questa idea spiega a colpo d’occhio perché possiamo “togliere” i logaritmi o le basi esponenziali quando compaiono a entrambi i membri. È la stessa idea, vestita diversamente.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Equazione esponenziale · Equazione irrazionale · Equazione logaritmica · Funzione iniettiva
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni

Given an equation $f(x) = g(x)$, we can apply to both sides an injective (that is, “invertible”) function without losing or gaining solutions. It is the idea behind many moves that during the year we have learnt “by heart”: squaring, cubing, removing exponentials or logarithms.

In brief — Examples of injective functions used during the year

• $t\mapsto t^2$ is injective on $[0,+\infty)$: if both sides are $\ge 0$, we can square while preserving the solutions.
• $t\mapsto t^3$ is injective on the whole of $\mathbb{R}$: we can always cube, without having to distinguish cases.
• $t\mapsto a^t$ (exponential) is injective on $\mathbb{R}$: if $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, then $f(x) = g(x)$.
• $t\mapsto \log_a t$ (logarithm) is injective on $(0,+\infty)$: if $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ and $f,g>0$, then $f(x) = g(x)$.

Remark

This idea explains at a glance why we can “remove” logarithms or exponential bases when they appear on both sides. It is the same idea, dressed up differently.

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Topics: Unifying methods
Concepts: Exponential equation · Irrational equation · Logarithmic equation · Injective function
Functions: Exponential function · Logarithmic function
Skills: Reasoning by cases · Solving equations

Per le disequazioni la regola dell’idea precedente si raffina. Applicando a entrambi i membri una funzione strettamente crescente si conserva il verso della disequazione; applicandone una strettamente decrescente si inverte. È questo il motivo per cui, con le disequazioni esponenziali e logaritmiche, bisogna sempre chiedersi se la base è maggiore o minore di $1$.

In sintesi

• $a^x$ con $a>1$: crescente $\Rightarrow$ verso conservato.
• $a^x$ con $0<a<1$: decrescente $\Rightarrow$ verso invertito.
• $\log_a$ con $a>1$: crescente $\Rightarrow$ verso conservato.
• $\log_a$ con $0<a<1$: decrescente $\Rightarrow$ verso invertito.
• $t\mapsto t^2$ su $[0,+\infty)$: crescente $\Rightarrow$ si può elevare al quadrato conservando il verso, ma solo se entrambi i membri sono $\ge 0$.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Disequazione esponenziale · Disequazione logaritmica · Funzione monotona
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

For inequalities the rule of the previous idea is refined. By applying to both sides a strictly increasing function the direction of the inequality is preserved; by applying a strictly decreasing one it is reversed. This is the reason why, with exponential and logarithmic inequalities, you must always ask yourself whether the base is greater or less than $1$.

In brief

• $a^x$ with $a>1$: increasing $\Rightarrow$ direction preserved.
• $a^x$ with $0<a<1$: decreasing $\Rightarrow$ direction reversed.
• $\log_a$ with $a>1$: increasing $\Rightarrow$ direction preserved.
• $\log_a$ with $0<a<1$: decreasing $\Rightarrow$ direction reversed.
• $t\mapsto t^2$ on $[0,+\infty)$: increasing $\Rightarrow$ you can square preserving the direction, but only if both sides are $\ge 0$.

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Topics: Unifying methods
Concepts: Exponential inequality · Logarithmic inequality · Monotonic function
Functions: Exponential function · Logarithmic function
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Ogni disequazione complicata può essere ricondotta allo studio del segno di una funzione: gli zeri e il comportamento agli estremi del dominio sono gli “ingredienti” da cui si legge la soluzione. Per le disequazioni fratte o per i prodotti si costruisce una tabella del segno, si intersecano le condizioni di esistenza, e si legge dalla tabella il risultato.

Abbiamo già usato questa strategia negli esempi di disequazioni irrazionali fratte, e la ritroveremo in Quarta con le derivate, quando lo studio del segno diventerà lo strumento centrale per lo studio di funzione.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Studio del segno · Tabella del segno
Competenze: Risolvere disequazioni · Studiare funzione

Every complicated inequality can be reduced to the sign analysis of a function: the zeros and the behaviour at the endpoints of the domain are the “ingredients” from which the solution is read off. For rational inequalities or for products one builds a sign table, intersects the existence conditions, and reads the result off the table.

We have already used this strategy in the examples of rational irrational inequalities, and we shall meet it again in Year 4 with derivatives, when sign analysis becomes the central tool for the study of a function.

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Topics: Unifying methods
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality · Sign analysis · Sign table
Skills: Solving inequalities · Studying a function

Raccogliamo in un’unica tabella la corrispondenza fra tipologia di equazione o disequazione e metodo risolutivo. È la mappa mentale da tenere a mente all’esame orale: riconosciuta la tipologia, il metodo segue quasi da sé.

In sintesi — Tipologia → metodo

Tipologia	Metodo
Equazione di 2° grado	Formula risolutiva
Equazione fratta	CE, minimo comune multiplo, ridurre a numeratore
Disequazione fratta/prodotto	Studio del segno, tabella
Equazione irrazionale	Isolare la radice, CE, condizione di concordanza dei segni, elevamento
Disequazione irrazionale Tip. I ($\sqrt{A}\le B$)	Sistema di 3 condizioni
Disequazione irrazionale Tip. II ($\sqrt{A}\ge B$)	Unione di 2 casi
Equazione con valore assoluto	Sdoppiare i casi $A\ge 0$, $A<0$
Disequazione con valore assoluto	Unione di sistemi
Equazione esponenziale	Stessa base, o sostituzione, o logaritmo
Disequazione esponenziale	Stessa base + monotonia (verso!)
Equazione logaritmica	Unire logaritmi, sfruttare l’iniettività, CE
Disequazione logaritmica	Monotonia (verso!) + CE

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Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Disequazione esponenziale · Disequazione irrazionale · Disequazione logaritmica · Equazione di secondo grado · Equazione esponenziale · Equazione irrazionale · Equazione logaritmica · Sostituzione · Studio del segno · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni · Risolvere equazioni

We collect in a single table the correspondence between the type of equation or inequality and the resolving method. It is the mental map to keep in mind at the oral exam: once the type is recognised, the method almost follows by itself.

In brief — Type → method

Type	Method
Quadratic equation	Quadratic formula
Rational equation	EC, least common multiple, reduce to the numerator
Rational/product inequality	Sign analysis, table
Irrational equation	Isolate the root, EC, sign-agreement condition, raising to a power
Irrational inequality Type I ($\sqrt{A}\le B$)	System of 3 conditions
Irrational inequality Type II ($\sqrt{A}\ge B$)	Union of 2 cases
Equation with absolute value	Split the cases $A\ge 0$, $A<0$
Inequality with absolute value	Union of systems
Exponential equation	Same base, or substitution, or logarithm
Exponential inequality	Same base + monotonicity (direction!)
Logarithmic equation	Combine logarithms, exploit injectivity, EC
Logarithmic inequality	Monotonicity (direction!) + EC

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Topics: Unifying methods
Concepts: Exponential inequality · Irrational inequality · Logarithmic inequality · Quadratic equation · Exponential equation · Irrational equation · Logarithmic equation · Substitution · Sign analysis · Absolute value
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities · Solving equations