Equazioni letterali (parametriche)

Cosa succede se alcuni coefficienti dell’equazione non sono numeri fissi, ma lettere? L’equazione diventa letterale o parametrica e la sua risoluzione richiede una discussione: bisogna esaminare separatamente i diversi casi, perché il comportamento dell’equazione — soluzione unica, infinite soluzioni oppure nessuna — cambia al variare dei parametri.

• Equazioni letterali e parametri
• Discussione di un’equazione parametrica

What happens if some coefficients of the equation are not fixed numbers, but letters? The equation becomes literal or parametric and solving it requires a discussion: we must examine the different cases separately, because the behaviour of the equation — unique solution, infinitely many solutions or none — changes as the parameters vary.

• Literal equations and parameters
• Discussion of a parametric equation

Fin qui i coefficienti delle nostre equazioni erano numeri. Ma nulla ci vieta di lasciarne alcuni “indeterminati”, rappresentati da lettere.

Definizione — Equazione letterale

Un’equazione letterale è un’equazione in cui, oltre all’incognita $x$, compaiono uno o più parametri (lettere che rappresentano numeri non specificati). La risoluzione richiede una discussione al variare dei parametri.

La discussione è necessaria perché una stessa forma può comportarsi in modi diversi: dividere per un coefficiente è lecito solo se quel coefficiente non è nullo, e proprio i valori dei parametri che lo annullano generano i casi particolari da trattare a parte.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Discussione parametrica · Equazione letterale · Parametro
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni

So far the coefficients of our equations have been numbers. But nothing stops us from leaving some of them “undetermined”, represented by letters.

Definition — Literal equation

A literal equation is an equation in which, besides the unknown $x$, one or more parameters appear (letters representing unspecified numbers). Solving it requires a discussion as the parameters vary.

The discussion is necessary because one and the same form can behave in different ways: dividing by a coefficient is permitted only if that coefficient is not zero, and it is precisely the parameter values that make it zero that generate the special cases to be treated separately.

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Topics: First-degree equations
Concepts: Parametric discussion · Literal equation · Parameter
Skills: Reasoning by cases · Solving equations

Vediamo come si conduce in concreto una discussione, distinguendo tutti i casi che i parametri possono generare.

Esempio

Risolvere $a^2x + ax - ab = 0$ al variare di $a,b\in\mathbb{R}$.

Raccogliamo la $x$: $x(a^2+a) = ab$, cioè $x\cdot a(a+1) = ab$.

Discussione:

• Se $a\neq 0$ e $a\neq -1$: il coefficiente $a(a+1)\neq 0$, dunque $x = \frac{ab}{a(a+1)} = \boxed{\dfrac{b}{a+1}} \quad\text{(soluzione unica)}$
• Se $a = 0$: l’equazione diventa $0 = 0$, sempre vera $\implies$ indeterminata (infinite soluzioni).
• Se $a = -1$: l’equazione diventa $0 = -b$, e occorre distinguere ancora:
  • se $b=0$: $0=0 \implies$ indeterminata;
  • se $b\neq 0$: $0 = -b \neq 0 \implies$ impossibile (nessuna soluzione).

L’esempio mostra la logica generale: si isola il coefficiente dell’incognita, lo si annulla per trovare i valori “critici” dei parametri e si analizza separatamente ciascuno di essi.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Discussione parametrica · Equazione impossibile · Equazione indeterminata · Equazione letterale · Parametro
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni

Let us see how a discussion is carried out in practice, distinguishing all the cases that the parameters can generate.

Example

Solve $a^2x + ax - ab = 0$ as $a,b\in\mathbb{R}$ vary.

We collect the $x$: $x(a^2+a) = ab$, that is $x\cdot a(a+1) = ab$.

Discussion:

• If $a\neq 0$ and $a\neq -1$: the coefficient $a(a+1)\neq 0$, hence $x = \frac{ab}{a(a+1)} = \boxed{\dfrac{b}{a+1}} \quad\text{(unique solution)}$
• If $a = 0$: the equation becomes $0 = 0$, always true $\implies$ indeterminate (infinitely many solutions).
• If $a = -1$: the equation becomes $0 = -b$, and we must distinguish further:
  • if $b=0$: $0=0 \implies$ indeterminate;
  • if $b\neq 0$: $0 = -b \neq 0 \implies$ impossible (no solution).

The example shows the general logic: we isolate the coefficient of the unknown, set it to zero to find the “critical” values of the parameters and analyse each of them separately.

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Topics: First-degree equations
Concepts: Parametric discussion · Impossible equation · Indeterminate equation · Literal equation · Parameter
Skills: Reasoning by cases · Solving equations