Posizioni reciproche retta-circonferenza

Una retta e una circonferenza possono non incontrarsi, toccarsi in un solo punto o tagliarsi in due punti: sono le posizioni di retta esterna, tangente e secante. Questa sezione mostra come stabilire quale sia il caso, sia risolvendo il sistema retta-circonferenza e guardando il discriminante, sia calcolando la distanza del centro dalla retta e confrontandola con il raggio.

• Posizioni reciproche retta-circonferenza
• Metodo del delta e metodo della distanza

A line and a circle may fail to meet, touch at a single point, or cut across at two points: these are the positions of an external, tangent and secant line. This section shows how to establish which case occurs, both by solving the line-circle system and looking at the discriminant, and by computing the distance of the centre from the line and comparing it with the radius.

• Relative positions of a line and a circle
• The delta method and the distance method

Data una retta $r$ e una circonferenza $\gamma$, si presentano tre possibilità:

• $r$ è esterna a $\gamma$: nessun punto in comune.
• $r$ è tangente a $\gamma$: un solo punto in comune (contato con molteplicità).
• $r$ è secante a $\gamma$: due punti distinti in comune.

Le tre posizioni reciproche di una retta rispetto a una circonferenza: esterna, tangente e secante.

Legge mnemonica: distanza $d(C,r)$ maggiore, uguale o minore del raggio $R$ $\iff$ retta esterna, tangente o secante.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Intersezione retta circonferenza · Retta · Retta esterna · Retta secante · Retta tangente
Competenze: Geometria analitica

Given a line $r$ and a circle $\gamma$, three possibilities arise:

• $r$ is external to $\gamma$: no point in common.
• $r$ is tangent to $\gamma$: a single point in common (counted with multiplicity).
• $r$ is secant to $\gamma$: two distinct points in common.

The three relative positions of a line with respect to a circle: external, tangent and secant.

Mnemonic rule: distance $d(C,r)$ greater than, equal to or less than the radius $R$ $\iff$ external, tangent or secant line.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Line-circle intersection · Line · External line · Secant line · Tangent line
Skills: Analytical geometry

Ci sono due strade per stabilire la posizione di una retta rispetto a una circonferenza. Algebricamente, il numero di punti di intersezione si ottiene risolvendo il sistema retta-circonferenza, che porta a un’equazione di secondo grado: il segno del suo discriminante $\Delta$ decide la posizione. Geometricamente, invece, si può usare la distanza del centro dalla retta.

Proprietà — Metodo del delta vs metodo della distanza

Siano $r$ una retta e $\gamma$ una circonferenza di centro $C$ e raggio $R$. Allora, equivalentemente:

\Delta > 0 & \iff & d(C, r) < R \qquad \text{(secante)} \\ \Delta = 0 & \iff & d(C, r) = R \qquad \text{(tangente)} \\ \Delta < 0 & \iff & d(C, r) > R \qquad \text{(esterna)} \end{array}$$ Il secondo metodo è spesso più rapido perché evita di risolvere esplicitamente il sistema.

Conviene tenere a mente entrambi i metodi: il metodo del delta è generale e restituisce anche i punti di intersezione, mentre il metodo della distanza è più veloce quando serve solo classificare la posizione o imporre la tangenza.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Discriminante · Distanza punto retta · Intersezione retta circonferenza · Raggio · Retta · Retta tangente
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi

There are two routes to establishing the position of a line with respect to a circle. Algebraically, the number of intersection points is obtained by solving the line-circle system, which leads to a second-degree equation: the sign of its discriminant $\Delta$ decides the position. Geometrically, on the other hand, one can use the distance of the centre from the line.

Property — Delta method vs distance method

Let $r$ be a line and $\gamma$ a circle with centre $C$ and radius $R$. Then, equivalently:

\Delta > 0 & \iff & d(C, r) < R \qquad \text{(secante)} \\ \Delta = 0 & \iff & d(C, r) = R \qquad \text{(tangente)} \\ \Delta < 0 & \iff & d(C, r) > R \qquad \text{(esterna)} \end{array}$$ The second method is often quicker because it avoids explicitly solving the system.

It is worth keeping both methods in mind: the delta method is general and also returns the intersection points, whereas the distance method is faster when one only needs to classify the position or impose tangency.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Discriminant · Point-line distance · Line-circle intersection · Radius · Line · Tangent line
Skills: Analytical geometry · Reasoning by cases