Continuità delle funzioni a tratti

Le funzioni definite a tratti sono continue ovunque tranne, possibilmente, nei punti in cui cambiano formula. La verifica si fa confrontando i limiti laterali col valore della funzione; quando compaiono parametri, questa condizione permette di determinarli.

• Continuità nel punto di giunzione
• Determinare i parametri per la continuità

Piecewise-defined functions are continuous everywhere except, possibly, at the points where they change formula. The verification is done by comparing the one-sided limits with the value of the function; when parameters appear, this condition allows them to be determined.

• Continuity at the junction point
• Determining the parameters for continuity

Le funzioni definite a tratti cambiano formula in corrispondenza di certi punti. Proprio in questi punti di giunzione la continuità non è automatica e va verificata con i limiti laterali.

Osservazione — Come verificare la continuità nel punto di giunzione

Data $f(x) = \begin{cases} g(x) & x < x_0 \\ h(x) & x \ge x_0 \end{cases}$ la funzione è continua in $x_0$ se e solo se: $\lim_{x\to x_0^-}g(x) = \lim_{x\to x_0^+}h(x) = h(x_0).$ Cioè: il limite da sinistra (con la formula di sinistra) deve coincidere col limite da destra (con la formula di destra) e col valore in $x_0$.

In pratica si calcolano tre quantità — limite sinistro, limite destro e valore della funzione nel punto — e si impone che siano tutte uguali. Se compaiono dei parametri, questa condizione fornisce un’equazione che permette di determinarli.

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Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti · Limite destro e sinistro
Competenze: Ragionare per casi

Piecewise-defined functions change formula at certain points. Precisely at these junction points continuity is not automatic and must be verified with the one-sided limits.

Remark — How to verify continuity at the junction point

Given $f(x) = \begin{cases} g(x) & x < x_0 \\ h(x) & x \ge x_0 \end{cases}$ the function is continuous at $x_0$ if and only if: $\lim_{x\to x_0^-}g(x) = \lim_{x\to x_0^+}h(x) = h(x_0).$ That is: the limit from the left (with the left-hand formula) must coincide with the limit from the right (with the right-hand formula) and with the value at $x_0$.

In practice one computes three quantities — left limit, right limit and value of the function at the point — and imposes that they all be equal. If parameters appear, this condition provides an equation that allows them to be determined.

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Skills: Ragionare per casi

Quando una funzione a tratti contiene dei parametri, imporre la continuità (ed eventualmente la derivabilità) nel punto di giunzione fornisce le equazioni che li determinano.

Esempio — Determinare i parametri per la continuità

Sia $f(x) = \begin{cases} x^2+bx & x<2 \\ \ln(2x+a) & x\ge 2\end{cases}$ Trovare $a,b$ affinché $f$ sia continua e derivabile in $x=2$.

Continuità: $\lim_{x\to 2^-}(x^2+bx) = 4+2b$; $\ f(2) = \ln(4+a)$. Serve: $4+2b = \ln(4+a).$

Derivabilità: $f'(x) = \begin{cases}2x+b & x<2 \\ \dfrac{2}{2x+a} & x\ge 2\end{cases}$. Il limite sinistro della derivata è $4+b$, quello destro è $\dfrac{2}{4+a}$. Serve: $4+b = \frac{2}{4+a}, \qquad\text{da cui}\qquad 4+a = \frac{2}{4+b}.$

Sostituendo nella prima condizione: $4+2b = \ln\!\left(\frac{2}{4+b}\right).$ È un’equazione trascendente: si risolve numericamente (o per tentativi), non con metodi algebrici elementari.

L’esempio mostra un punto importante: continuità e derivabilità danno due condizioni distinte. La continuità lega i valori delle due formule; la derivabilità lega le loro pendenze. Insieme costituiscono un sistema che, in generale, può anche essere trascendente.

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When a piecewise function contains parameters, imposing continuity (and possibly differentiability) at the junction point provides the equations that determine them.

Example — Determining the parameters for continuity

Let $f(x) = \begin{cases} x^2+bx & x<2 \\ \ln(2x+a) & x\ge 2\end{cases}$ Find $a,b$ so that $f$ is continuous and differentiable at $x=2$.

Continuity: $\lim_{x\to 2^-}(x^2+bx) = 4+2b$; $\ f(2) = \ln(4+a)$. We need: $4+2b = \ln(4+a).$

Differentiability: $f'(x) = \begin{cases}2x+b & x<2 \\ \dfrac{2}{2x+a} & x\ge 2\end{cases}$. The left limit of the derivative is $4+b$, the right one is $\dfrac{2}{4+a}$. We need: $4+b = \frac{2}{4+a}, \qquad\text{from which}\qquad 4+a = \frac{2}{4+b}.$

Substituting into the first condition: $4+2b = \ln\!\left(\frac{2}{4+b}\right).$ It is a transcendental equation: it is solved numerically (or by trial), not with elementary algebraic methods.

The example shows an important point: continuity and differentiability give two distinct conditions. Continuity links the values of the two formulae; differentiability links their slopes. Together they form a system that, in general, may even be transcendental.

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