Tipologia I — la radice minore di un'espressione

Prima tipologia canonica: la radice è al primo membro e deve essere minore di un’espressione senza radicale, $\sqrt{A(x)}\le B(x)$. Poiché una radice è sempre $\ge 0$, il secondo membro è costretto a essere non negativo: da qui nasce il sistema di tre condizioni che risolve questo caso.

• Il metodo per la radice minore
• Esempio — radice minore di una retta

First canonical type: the root is on the left-hand side and must be smaller than an expression without a radical, $\sqrt{A(x)}\le B(x)$. Since a root is always $\ge 0$, the right-hand side is forced to be non-negative: from this arises the system of three conditions that solves this case.

• The method for the smaller root
• Example — root smaller than a line

Consideriamo una disequazione in cui la radice è al primo membro e il secondo membro è un’espressione senza radicale: $\sqrt{A(x)}\le B(x).$

Ragioniamo: il primo membro $\sqrt{A(x)}$, quando esiste, è sempre $\ge 0$. Se $B(x)$ è negativo, allora una quantità non negativa non potrà mai essere minore o uguale a una negativa: la disequazione non ha soluzioni in quella zona. Dobbiamo quindi pretendere $B(x)\ge 0$. Una volta assicurato che entrambi i membri sono non negativi, possiamo elevare al quadrato conservando il verso.

In sintesi — Metodo per $\sqrt{A(x)}\le B(x)$

La disequazione è equivalente al sistema $\begin{cases} A(x)\ge 0 & \text{(CE: esiste la radice)} \\ B(x)\ge 0 & \text{(il secondo membro è non negativo)} \\ A(x)\le \bigl(B(x)\bigr)^2 & \text{(elevamento al quadrato)} \end{cases}$ Le tre condizioni vanno intersecate. Se la disequazione è stretta ($<$) valgono sempre disuguaglianze strette; se è $\le$, tutto resta con l’uguale.

Le tre condizioni raccontano una storia precisa: la prima garantisce che la radice esista, la seconda che il confronto abbia senso, la terza confronta effettivamente i valori. Ometterne una qualsiasi porta a errori.

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Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Elevamento al quadrato
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

Consider an inequality in which the root is on the left-hand side and the right-hand side is an expression without a radical: $\sqrt{A(x)}\le B(x).$

Let us reason: the left-hand side $\sqrt{A(x)}$, when it exists, is always $\ge 0$. If $B(x)$ is negative, then a non-negative quantity can never be less than or equal to a negative one: the inequality has no solutions in that region. We must therefore require $B(x)\ge 0$. Once we have ensured that both sides are non-negative, we can square while preserving the direction.

In brief — Method for $\sqrt{A(x)}\le B(x)$

The inequality is equivalent to the system $\begin{cases} A(x)\ge 0 & \text{(CE: esiste la radice)} \\ B(x)\ge 0 & \text{(il secondo membro è non negativo)} \\ A(x)\le \bigl(B(x)\bigr)^2 & \text{(elevamento al quadrato)} \end{cases}$ The three conditions must be intersected. If the inequality is strict ($<$), strict inequalities hold throughout; if it is $\le$, everything stays with the equality.

The three conditions tell a precise story: the first guarantees that the root exists, the second that the comparison makes sense, the third actually compares the values. Omitting any one of them leads to errors.

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality
Methods: Irrational inequality by cases · Squaring
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Applichiamo il metodo delle tre condizioni a un caso concreto.

Esempio — $\sqrt{x^2-3x+2}\le x-1$

Sistema equivalente: $\begin{cases} x^2-3x+2\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x^2-3x+2 \le (x-1)^2 \end{cases}$

Prima disequazione (CE): $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 \implies x\le 1 \vee x\ge 2$.

Seconda disequazione: $x\ge 1$.

Terza disequazione: $x^2-3x+2\le x^2-2x+1 \implies -3x+2\le -2x+1 \implies -x\le -1 \implies x\ge 1.$

Intersezione: $\bigl(x\le 1 \vee x\ge 2\bigr) \wedge x\ge 1 \wedge x\ge 1$. La zona $x\le 1$ intersecata con $x\ge 1$ dà il solo punto $x=1$; la zona $x\ge 2$ intersecata con $x\ge 1$ dà $x\ge 2$.

Soluzione: $\boxed{\,x=1 \ \vee\ x\ge 2\,}$.

Il grafico chiarisce la situazione: la curva blu è $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ (esiste solo per $x\le 1$ o $x\ge 2$, dove si “attacca” all’asse $x$); la retta rossa è $y=x-1$. La disequazione chiede dove la blu sta sotto o sulla rossa: a $x=1$ c’è contatto puntuale ($0\le 0$), e poi da $x=2$ in poi la retta resta sopra la radice.

La curva $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ e la retta $y=x-1$: la soluzione è dove la radice sta sotto o sulla retta, cioè $x=1$ e $x\ge 2$.

Osservazione — Perché NON basta elevare al quadrato

Se ci limitassimo a elevare al quadrato, otterremmo $-x\le -1$, cioè $x\ge 1$: una soluzione sbagliata, perché include tutto l’intervallo $1<x<2$, dove però la radice non esiste (l’argomento è negativo). Il sistema con le tre condizioni serve proprio a impedire questo errore.

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Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Elevamento al quadrato
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

Let us apply the three-condition method to a concrete case.

Example — $\sqrt{x^2-3x+2}\le x-1$

Equivalent system: $\begin{cases} x^2-3x+2\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x^2-3x+2 \le (x-1)^2 \end{cases}$

First inequality (CE): $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 \implies x\le 1 \vee x\ge 2$.

Second inequality: $x\ge 1$.

Third inequality: $x^2-3x+2\le x^2-2x+1 \implies -3x+2\le -2x+1 \implies -x\le -1 \implies x\ge 1.$

Intersection: $\bigl(x\le 1 \vee x\ge 2\bigr) \wedge x\ge 1 \wedge x\ge 1$. The region $x\le 1$ intersected with $x\ge 1$ gives only the point $x=1$; the region $x\ge 2$ intersected with $x\ge 1$ gives $x\ge 2$.

Solution: $\boxed{\,x=1 \ \vee\ x\ge 2\,}$.

The graph clarifies the situation: the blue curve is $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ (it exists only for $x\le 1$ or $x\ge 2$, where it “meets” the $x$-axis); the red line is $y=x-1$. The inequality asks where the blue curve lies below or on the red one: at $x=1$ there is a pointwise contact ($0\le 0$), and then from $x=2$ onwards the line stays above the root.

The curve $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ and the line $y=x-1$: the solution is where the root lies below or on the line, that is $x=1$ and $x\ge 2$.

Remark — Why squaring alone is NOT enough

If we limited ourselves to squaring, we would obtain $-x\le -1$, that is $x\ge 1$: a wrong solution, because it includes the whole interval $1<x<2$, where however the root does not exist (the argument is negative). The system with the three conditions serves precisely to prevent this error.

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