Tipologia II — la radice maggiore di un'espressione

Seconda tipologia canonica: la radice deve essere maggiore di un’espressione senza radicale, $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$. Qui il secondo membro può avere segno qualunque, e la soluzione nasce dall’unione di due casi: quello in cui $B(x)$ è negativo (disequazione automaticamente vera) e quello in cui è non negativo (si eleva al quadrato).

• Il metodo per la radice maggiore
• Esempio — radice maggiore di una retta

Second canonical type: the root must be larger than an expression without a radical, $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$. Here the right-hand side may have any sign, and the solution arises from the union of two cases: the one in which $B(x)$ is negative (inequality automatically true) and the one in which it is non-negative (we square).

• The method for the larger root
• Example — root larger than a line

Consideriamo ora il caso opposto: $\sqrt{A(x)}\ge B(x).$

Il primo membro, quando esiste, è $\ge 0$; il secondo membro può essere positivo o negativo. Distinguiamo.

• Caso 1: $B(x)<0$. Una quantità non negativa è automaticamente $\ge$ di una negativa, quindi la disequazione è sempre verificata all’interno delle CE. L’unica condizione che resta è $A(x)\ge 0$.
• Caso 2: $B(x)\ge 0$. Entrambi i membri sono ora non negativi: possiamo elevare al quadrato conservando il verso, ottenendo $A(x)\ge (B(x))^2$. La CE $A(x)\ge 0$ è in realtà implicata da quest’ultima (se $A\ge B^2\ge 0$), ma la lasciamo esplicita per chiarezza.

La soluzione finale è l’unione delle soluzioni dei due casi.

In sintesi — Metodo per $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$

$\underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)<0\end{cases}}_{\text{Caso 1}} \quad\cup\quad \underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)\ge \bigl(B(x)\bigr)^2\end{cases}}_{\text{Caso 2}}$

Il diagramma seguente riassume la struttura del metodo: dalla disequazione di partenza si diramano i due casi, e le loro soluzioni si riuniscono in un’unione.

La struttura del metodo per $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$: due casi che si riuniscono in un’unione.

Attenzione — L'errore più comune

È facile dimenticare il Caso 1 e risolvere solo il Caso 2: si perdono così tutte le soluzioni in cui il secondo membro è negativo. Un modo per non sbagliare è partire sempre dalla domanda: “quando il secondo membro è negativo, la disequazione è banalmente vera o banalmente falsa?”.

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Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Elevamento al quadrato
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

Consider now the opposite case: $\sqrt{A(x)}\ge B(x).$

The left-hand side, when it exists, is $\ge 0$; the right-hand side may be positive or negative. Let us distinguish.

• Case 1: $B(x)<0$. A non-negative quantity is automatically $\ge$ a negative one, so the inequality is always satisfied within the existence conditions. The only remaining condition is $A(x)\ge 0$.
• Case 2: $B(x)\ge 0$. Both sides are now non-negative: we can square while preserving the direction, obtaining $A(x)\ge (B(x))^2$. The existence condition $A(x)\ge 0$ is in fact implied by the latter (if $A\ge B^2\ge 0$), but we leave it explicit for clarity.

The final solution is the union of the solutions of the two cases.

In brief — Method for $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$

$\underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)<0\end{cases}}_{\text{Caso 1}} \quad\cup\quad \underbrace{\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)\ge \bigl(B(x)\bigr)^2\end{cases}}_{\text{Caso 2}}$

The diagram below summarises the structure of the method: from the starting inequality the two cases branch out, and their solutions reunite in a union.

The structure of the method for $\sqrt{A(x)}\ge B(x)$: two cases that reunite in a union.

Warning — The most common mistake

It is easy to forget Case 1 and solve only Case 2: in this way one loses all the solutions in which the right-hand side is negative. One way not to go wrong is to always start from the question: “when the right-hand side is negative, is the inequality trivially true or trivially false?”.

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Concepts: Existence conditions · Irrational inequality
Methods: Irrational inequality by cases · Squaring
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Vediamo il metodo dei due casi all’opera su una disequazione di Tipologia II.

Esempio — $\sqrt{x+1}\ge -6x+3$

Caso 1: $-6x+3<0 \iff x>\tfrac12$. Insieme a $x+1\ge 0$, cioè $x\ge -1$, otteniamo $x>\tfrac12$.

Caso 2: $\begin{cases} x+1\ge 0 \\ -6x+3\ge 0 \\ x+1 \ge (-6x+3)^2 = 36x^2-36x+9 \end{cases} \iff \begin{cases} x\ge -1 \\ x\le \tfrac12 \\ 36x^2-37x+8\le 0 \end{cases}$ La terza disequazione: $\Delta = 37^2-4\cdot 36\cdot 8 = 1369-1152 = 217$. Gli zeri sono $x_{1,2} = \frac{37\pm\sqrt{217}}{72} \approx \frac{37\pm 14{,}73}{72} \implies x_1\approx 0{,}31,\quad x_2\approx 0{,}72.$ Quindi $36x^2-37x+8\le 0$ per $0{,}31 \le x \le 0{,}72$. Intersecando con $x\ge -1$ e $x\le \tfrac12 = 0{,}5$ si ottiene $0{,}31 \le x \le 0{,}5$.

Unione Caso 1 $\cup$ Caso 2: $x>\tfrac12 \ \cup\ [0{,}31,\ 0{,}5]$, che riuniti diventano $\boxed{\,x\ge 0{,}31\,}$ (formalmente $x\ge \frac{37-\sqrt{217}}{72}$).

La curva blu, $y=\sqrt{x+1}$, parte da $(-1;0)$ e cresce lentamente. La retta rossa $y=-6x+3$ è decrescente: a sinistra è sopra la radice, a destra finisce sotto. La disequazione chiede i punti in cui la blu è sopra o sulla rossa: la soluzione è tutta la zona a partire dal punto di intersezione $x\approx 0{,}31$.

$y=\sqrt{x+1}$ contro $y=-6x+3$: la soluzione è la zona in cui la radice è sopra o sulla retta, a partire da $x\approx 0{,}31$.

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Let us see the two-case method at work on a Type II inequality.

Example — $\sqrt{x+1}\ge -6x+3$

Case 1: $-6x+3<0 \iff x>\tfrac12$. Together with $x+1\ge 0$, that is $x\ge -1$, we obtain $x>\tfrac12$.

Case 2: $\begin{cases} x+1\ge 0 \\ -6x+3\ge 0 \\ x+1 \ge (-6x+3)^2 = 36x^2-36x+9 \end{cases} \iff \begin{cases} x\ge -1 \\ x\le \tfrac12 \\ 36x^2-37x+8\le 0 \end{cases}$ The third inequality: $\Delta = 37^2-4\cdot 36\cdot 8 = 1369-1152 = 217$. The zeros are $x_{1,2} = \frac{37\pm\sqrt{217}}{72} \approx \frac{37\pm 14{,}73}{72} \implies x_1\approx 0{,}31,\quad x_2\approx 0{,}72.$ Therefore $36x^2-37x+8\le 0$ for $0{,}31 \le x \le 0{,}72$. Intersecting with $x\ge -1$ and $x\le \tfrac12 = 0{,}5$ we obtain $0{,}31 \le x \le 0{,}5$.

Union Case 1 $\cup$ Case 2: $x>\tfrac12 \ \cup\ [0{,}31,\ 0{,}5]$, which combined become $\boxed{\,x\ge 0{,}31\,}$ (formally $x\ge \frac{37-\sqrt{217}}{72}$).

The blue curve, $y=\sqrt{x+1}$, starts from $(-1;0)$ and grows slowly. The red line $y=-6x+3$ is decreasing: on the left it is above the root, on the right it ends up below. The inequality asks for the points where the blue curve is above or on the red one: the solution is the whole region starting from the intersection point $x\approx 0{,}31$.

$y=\sqrt{x+1}$ against $y=-6x+3$: the solution is the region where the root is above or on the line, starting from $x\approx 0{,}31$.

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