Disequazioni con radice quadrata

Le disequazioni con radice quadrata si risolvono sempre riconducendole a uno di due schemi fondamentali, a seconda del verso della disuguaglianza. Il principio guida è sempre lo stesso: elevare al quadrato conserva le disuguaglianze solo quando entrambi i membri sono non negativi, e il radicale è per definizione $\ge 0$ all’interno delle C.E. In Terza si generalizzerà lo schema con i casi misti; qui ci si limita alle due forme canoniche.

• Tipologia I — radice maggiore
• Tipologia II — radice minore

Inequalities with a square root are always solved by reducing them to one of two fundamental schemes, depending on the direction of the inequality. The guiding principle is always the same: squaring preserves inequalities only when both members are non-negative, and the radical is by definition $\ge 0$ within the domain of existence. In Year Three the scheme will be generalised with mixed cases; here we limit ourselves to the two canonical forms.

• Type I — root greater
• Type II — root smaller

Quando la radice sta dal lato maggiore, $\sqrt{A(x)}>B(x)$, la soluzione è l’unione di due casi.

Proprietà — $\sqrt{A(x)}>B(x)$

La disequazione $\sqrt{A(x)}>B(x)$ è equivalente all’unione di due casi:

• Caso (a): $B(x)<0$. Il primo membro (la radice) è $\ge 0$ quando esiste, quindi è automaticamente maggiore di un numero negativo. È sempre vera, purché la radice esista: $\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0\end{cases}$
• Caso (b): $B(x)\ge 0$. Entrambi i membri sono non negativi, quindi si può elevare al quadrato conservando il verso: $\begin{cases}B(x)\ge 0 \\ A(x) > B^2(x)\end{cases}$ (La condizione $A(x)\ge 0$ non serve esplicitamente: è implicata da $A(x)>B^2(x)\ge 0$.)

La soluzione finale è $S_a\cup S_b$.

Lo schema a due rami della Tipologia I: si risolvono i due casi e si uniscono le soluzioni.

Esempio

$\sqrt{x-1} > x-3$.

Caso (a): $\begin{cases}x-1\ge 0 \\ x-3 < 0\end{cases} \iff 1\le x<3$. Zona di soluzione $[1;\,3)$.

Caso (b): $\begin{cases}x-3\ge 0 \\ x-1 > (x-3)^2\end{cases}$. La seconda: $x-1 > x^2-6x+9 \iff x^2-7x+10 < 0 \iff 2<x<5$. Intersecando con $x\ge 3$: $3\le x<5$.

Unione: $\boxed{1\le x < 5}$.

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Equazione irrazionale elevamento
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

When the root is on the greater side, $\sqrt{A(x)}>B(x)$, the solution is the union of two cases.

Property — $\sqrt{A(x)}>B(x)$

The inequality $\sqrt{A(x)}>B(x)$ is equivalent to the union of two cases:

• Case (a): $B(x)<0$. The first member (the root) is $\ge 0$ whenever it exists, so it is automatically greater than a negative number. It is always true, provided the root exists: $\begin{cases}A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0\end{cases}$
• Case (b): $B(x)\ge 0$. Both members are non-negative, so one can square while keeping the direction: $\begin{cases}B(x)\ge 0 \\ A(x) > B^2(x)\end{cases}$ (The condition $A(x)\ge 0$ is not needed explicitly: it is implied by $A(x)>B^2(x)\ge 0$.)

The final solution is $S_a\cup S_b$.

The two-branch scheme of Type I: the two cases are solved and their solutions are united.

Example

$\sqrt{x-1} > x-3$.

Case (a): $\begin{cases}x-1\ge 0 \\ x-3 < 0\end{cases} \iff 1\le x<3$. Solution zone $[1;\,3)$.

Case (b): $\begin{cases}x-3\ge 0 \\ x-1 > (x-3)^2\end{cases}$. The second: $x-1 > x^2-6x+9 \iff x^2-7x+10 < 0 \iff 2<x<5$. Intersecting with $x\ge 3$: $3\le x<5$.

Union: $\boxed{1\le x < 5}$.

Links

Topics: Radicals
Concepts: Conditions of existence · Irrational inequality
Methods: Irrational inequality case analysis · Irrational equation squaring
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Quando la radice sta dal lato minore, $\sqrt{A(x)}<B(x)$, la soluzione è un unico sistema di tre condizioni simultanee.

Proprietà — $\sqrt{A(x)}<B(x)$

La disequazione $\sqrt{A(x)}<B(x)$ è equivalente al sistema (tutte e tre le condizioni valgono simultaneamente): $\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < B^2(x) \end{cases}$

Osservazione — Perché tutte e tre le condizioni

$A(x)\ge 0$ è la C.E. della radice; $B(x)>0$ è necessaria perché una quantità $\ge 0$ (la radice) non può essere minore di un numero non positivo; $A(x) < B^2(x)$ è l’elevamento al quadrato, lecito perché entrambi i membri sono $\ge 0$ sotto le due condizioni precedenti.

Esempio

$\sqrt{x^2-1}<x$.

Sistema: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x > 0 \\ x^2-1 < x^2\end{cases}$.

• Prima: $x\le -1 \vee x\ge 1$.
• Seconda: $x>0$.
• Terza: $-1<0$, sempre vera.

Intersezione: $x\ge 1$. Soluzione: $\boxed{x\ge 1}$.

Attenzione — Il verso $\le$ e $\ge$

Le formule sopra valgono per le disuguaglianze strette ($>$ e $<$). Per le versioni non strette ($\ge$ e $\le$) basta sostituire i corrispondenti simboli negli schemi, tenendo presente che il punto in cui entrambi i membri sono zero (se c’è) diventa soluzione (prima non lo era).

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

When the root is on the smaller side, $\sqrt{A(x)}<B(x)$, the solution is a single system of three simultaneous conditions.

Property — $\sqrt{A(x)}<B(x)$

The inequality $\sqrt{A(x)}<B(x)$ is equivalent to the system (all three conditions hold simultaneously): $\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < B^2(x) \end{cases}$

Remark — Why all three conditions

$A(x)\ge 0$ is the domain of existence of the root; $B(x)>0$ is necessary because a quantity that is $\ge 0$ (the root) cannot be smaller than a non-positive number; $A(x) < B^2(x)$ is the squaring, permissible because both members are $\ge 0$ under the two preceding conditions.

Example

$\sqrt{x^2-1}<x$.

System: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x > 0 \\ x^2-1 < x^2\end{cases}$.

• First: $x\le -1 \vee x\ge 1$.
• Second: $x>0$.
• Third: $-1<0$, always true.

Intersection: $x\ge 1$. Solution: $\boxed{x\ge 1}$.

Caution — The direction $\le$ and $\ge$

The formulae above hold for strict inequalities ($>$ and $<$). For the non-strict versions ($\ge$ and $\le$) it is enough to replace the corresponding symbols in the schemes, bearing in mind that the point at which both members are zero (if there is one) becomes a solution (previously it was not).

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Methods: Irrational inequality case analysis
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities