Somme di quantità sempre non negative

Alcune disequazioni si risolvono “a vista”: quelle in cui il primo membro è una somma di quantità che non possono mai essere negative — somme di radicali, di valori assoluti, di quadrati, o distanze. Riconosciuta la struttura, la risposta è immediata.

• Riconoscere le somme sempre non negative
• Le distanze in geometria analitica

Some inequalities can be solved “by inspection”: those in which the left-hand side is a sum of quantities that can never be negative — sums of radicals, of absolute values, of squares, or distances. Once the structure is recognised, the answer is immediate.

• Recognising always-non-negative sums
• Distances in analytic geometry

C’è una famiglia di disequazioni che, una volta riconosciute, si risolvono “a vista”, senza fare alcun calcolo: quelle in cui il primo membro è una somma di quantità che non possono mai essere negative. Una somma di radicali, o di valori assoluti, o di quadrati: ognuno di questi addendi è per costruzione $\ge 0$ e quindi anche la loro somma lo è.

Proprietà — Somme sempre non negative

Entro le proprie CE:

• $\sqrt{A(x)} + \sqrt{C(x)}$ è sempre $\ge 0$;
• $\sqrt{A(x)} + |C(x)|$ è sempre $\ge 0$;
• $|A(x)| + |C(x)|$ è sempre $\ge 0$;
• una somma di quadrati $\bigl(P(x)\bigr)^2 + \bigl(Q(x)\bigr)^2$ è sempre $\ge 0$;
• una distanza (punto–punto o punto–retta) è sempre $\ge 0$.

Di conseguenza, ogni disequazione della forma $\underbrace{\sqrt{A(x)}+\sqrt{C(x)}}_{\text{o analoga}} \ge 0$ ha come soluzione le sole CE; la stessa disequazione con $<0$ (stretta) è impossibile (al massimo può avere soluzione “isolata” nei punti in cui tutti gli addendi sono simultaneamente zero).

Esempio — Tre disequazioni "a vista"

$\sqrt{x} + \sqrt{x-1}\ge 0$. CE: $x\ge 0$ e $x\ge 1$, cioè $x\ge 1$. La disequazione è sempre vera entro le CE, quindi la soluzione è $\boxed{\,x\ge 1\,}$.

$|x|+|x-1|<0$. È una somma di due valori assoluti, sempre $\ge 0$. Non c’è alcun $x$ per cui sia strettamente $<0$: nessuna soluzione.

$\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x}\le 0$. È una somma di due radicali, $\ge 0$ entro le CE. Può valere zero solo se entrambi gli addendi sono zero simultaneamente: $x=0$ e ($x=0 \vee x=1$). Unico valore accettabile: $\boxed{\,x=0\,}$. Se la disequazione fosse stretta ($<0$), non ci sarebbero soluzioni.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

There is a family of inequalities that, once recognised, can be solved “by inspection”, without any calculation: those in which the left-hand side is a sum of quantities that can never be negative. A sum of radicals, or of absolute values, or of squares: each of these summands is by construction $\ge 0$ and hence so is their sum.

Property — Always-non-negative sums

Within their own existence conditions:

• $\sqrt{A(x)} + \sqrt{C(x)}$ is always $\ge 0$;
• $\sqrt{A(x)} + |C(x)|$ is always $\ge 0$;
• $|A(x)| + |C(x)|$ is always $\ge 0$;
• a sum of squares $\bigl(P(x)\bigr)^2 + \bigl(Q(x)\bigr)^2$ is always $\ge 0$;
• a distance (point–point or point–line) is always $\ge 0$.

Consequently, every inequality of the form $\underbrace{\sqrt{A(x)}+\sqrt{C(x)}}_{\text{o analoga}} \ge 0$ has as its solution the existence conditions alone; the same inequality with $<0$ (strict) is impossible (at most it may have an “isolated” solution at the points where all the summands are simultaneously zero).

Example — Three inequalities "by inspection"

$\sqrt{x} + \sqrt{x-1}\ge 0$. Existence conditions: $x\ge 0$ and $x\ge 1$, that is $x\ge 1$. The inequality is always true within the existence conditions, so the solution is $\boxed{\,x\ge 1\,}$.

$|x|+|x-1|<0$. It is a sum of two absolute values, always $\ge 0$. There is no $x$ for which it is strictly $<0$: no solution.

$\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x}\le 0$. It is a sum of two radicals, $\ge 0$ within the existence conditions. It can equal zero only if both summands are zero simultaneously: $x=0$ and ($x=0 \vee x=1$). Sole acceptable value: $\boxed{\,x=0\,}$. If the inequality were strict ($<0$), there would be no solutions.

Links

Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality · Absolute value
Methods: Non-negative sides shortcut
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Il caso delle distanze merita una nota a parte, perché ricorre continuamente nei problemi di geometria analitica.

Osservazione — Il caso delle distanze in geometria analitica

Quando in un problema compare una distanza, come $d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}$, la quantità sotto la radice è una somma di quadrati, quindi è sempre $\ge 0$ — perfino quando le coordinate dei punti dipendono da un parametro. Non servono le condizioni di esistenza sulla radice della distanza: si eleva direttamente al quadrato senza mai preoccuparsene.

Questa piccola osservazione fa risparmiare molto tempo negli esercizi di geometria analitica: ogni volta che si confronta una distanza con un valore, si è automaticamente in un caso “scorciatoia”.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Distanza punto retta · Retta
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Geometria analitica

The case of distances deserves a note of its own, because it recurs continually in analytic geometry problems.

Remark — The case of distances in analytic geometry

When a distance appears in a problem, such as $d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}$, the quantity under the root is a sum of squares, hence it is always $\ge 0$ — even when the coordinates of the points depend on a parameter. No existence conditions are needed on the root of the distance: one squares directly without ever worrying about it.

This small observation saves a lot of time in analytic geometry exercises: every time a distance is compared with a value, one is automatically in a “shortcut” case.

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality · Point–line distance · Line
Methods: Non-negative sides shortcut
Skills: Analytic geometry