Disequazioni letterali

Una disequazione letterale contiene, oltre all’incognita $x$, un parametro (per esempio $a$). Risolverla significa discutere la soluzione al variare del parametro: il segno del parametro può cambiare sia la posizione dei capisaldi sia la pendenza dei fattori.

• Una disequazione letterale tipica

A literal inequality contains, besides the unknown $x$, a parameter (for example $a$). To solve it means to discuss the solution as the parameter varies: the sign of the parameter can change both the position of the key points and the slope of the factors.

• A typical literal inequality

Una disequazione letterale contiene, oltre all’incognita $x$, un parametro (per esempio $a$). Risolverla significa discutere la soluzione al variare del parametro.

Esempio — Una disequazione letterale tipica

Risolvere $x(ax-2)\le 0$ al variare di $a\in\mathbb{R}$.

I fattori sono $f_1: y=x$ e $f_2: y=ax-2$. Il segno di $f_2$ dipende crucialmente dal valore di $a$: bisogna distinguere tre casi.

Caso $a=0$: $f_2 = -2 < 0$ sempre. La disequazione diventa $-2x\le 0$, cioè $x\ge 0$. Soluzione: $\boxed{x\ge 0}$.

Caso $a > 0$: $f_2 = ax-2$ è una retta crescente con zero in $x=\frac{2}{a} > 0$.

	$x<0$	$x=0$	$0<x<\frac{2}{a}$	$x=\frac{2}{a}$	$x>\frac{2}{a}$
$f_1=x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f_2=ax-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f_1\cdot f_2$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Soluzione: $\boxed{0\le x \le \dfrac{2}{a}}$.

Caso $a < 0$: $f_2 = ax-2$ è una retta decrescente con zero in $x=\frac{2}{a} < 0$.

	$x<\frac{2}{a}$	$x=\frac{2}{a}$	$\frac{2}{a}<x<0$	$x=0$	$x>0$
$f_1=x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f_2=ax-2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f_1\cdot f_2$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Soluzione: $\boxed{x \le \dfrac{2}{a} \;\text{oppure}\; x\ge 0}$.

Riepilogo: il segno del parametro cambia non solo la posizione dei capisaldi ma anche la pendenza del fattore $f_2$, e quindi il modo in cui si distribuiscono i segni nella tabella.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Caposaldo · Disequazione letterale · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

A literal inequality contains, besides the unknown $x$, a parameter (for example $a$). To solve it means to discuss the solution as the parameter varies.

Example — A typical literal inequality

Solve $x(ax-2)\le 0$ as $a\in\mathbb{R}$ varies.

The factors are $f_1: y=x$ and $f_2: y=ax-2$. The sign of $f_2$ depends crucially on the value of $a$: three cases must be distinguished.

Case $a=0$: $f_2 = -2 < 0$ always. The inequality becomes $-2x\le 0$, that is $x\ge 0$. Solution: $\boxed{x\ge 0}$.

Case $a > 0$: $f_2 = ax-2$ is an increasing straight line with a zero at $x=\frac{2}{a} > 0$.

	$x<0$	$x=0$	$0<x<\frac{2}{a}$	$x=\frac{2}{a}$	$x>\frac{2}{a}$
$f_1=x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f_2=ax-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f_1\cdot f_2$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Solution: $\boxed{0\le x \le \dfrac{2}{a}}$.

Case $a < 0$: $f_2 = ax-2$ is a decreasing straight line with a zero at $x=\frac{2}{a} < 0$.

	$x<\frac{2}{a}$	$x=\frac{2}{a}$	$\frac{2}{a}<x<0$	$x=0$	$x>0$
$f_1=x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f_2=ax-2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f_1\cdot f_2$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Solution: $\boxed{x \le \dfrac{2}{a} \;\text{oppure}\; x\ge 0}$.

Summary: the sign of the parameter changes not only the position of the key points but also the slope of the factor $f_2$, and hence the way the signs are distributed in the table.

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Topics: Inequalities
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