Disequazioni logaritmiche

Nelle disequazioni logaritmiche la novità rispetto alle equazioni è che il confronto tra argomenti dipende dalla base: se la base è maggiore di $1$ il verso si conserva, se è compresa tra $0$ e $1$ il verso si inverte. Le condizioni di esistenza, invece, non cambiano mai. La sezione enuncia la regola, la applica in una batteria di esempi guidati con base minore di $1$ e ribadisce il ruolo delle CE.

• Regola del verso nelle disequazioni
• Casi base con base minore di 1
• Le CE si verificano sempre

In logarithmic inequalities the novelty compared with equations is that the comparison between arguments depends on the base: if the base is greater than $1$ the direction is preserved, if it is between $0$ and $1$ the direction is reversed. The existence conditions, on the other hand, never change. The section states the rule, applies it in a battery of guided examples with base less than $1$ and reiterates the role of the ECs.

• Rule for the direction in inequalities
• Basic cases with base less than 1
• The ECs always hold

Quando si “tolgono” i logaritmi da una disequazione, il verso della disuguaglianza tra gli argomenti dipende dalla base.

Proprietà — Verso e base

$\log_a f(x) \lessgtr \log_a g(x)$ equivale, entro le CE ($f, g > 0$), a:

• $f(x) \lessgtr g(x)$ se $a > 1$ (stesso verso);
• $f(x) \gtrless g(x)$ se $0 < a < 1$ (verso invertito).

Esempio — $\log_{1/2}(x-3) > 1$

CE: $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

Scrittura uniforme: $1 = \log_{1/2}(1/2)$. Quindi $\log_{1/2}(x-3) > \log_{1/2}(1/2)$.

Base $<1$, verso invertito: $x - 3 < \tfrac{1}{2} \iff x < \tfrac{7}{2}$.

Intersezione con CE: $3 < x < \tfrac{7}{2}$, cioè $\boxed{x\in \left(3;\tfrac{7}{2}\right)}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazioni logaritmiche · Logaritmo · Monotonia
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

When one “removes” the logarithms from an inequality, the direction of the inequality between the arguments depends on the base.

Property — Direction and base

$\log_a f(x) \lessgtr \log_a g(x)$ is equivalent, within the ECs ($f, g > 0$), to:

• $f(x) \lessgtr g(x)$ if $a > 1$ (same direction);
• $f(x) \gtrless g(x)$ if $0 < a < 1$ (direction reversed).

Example — $\log_{1/2}(x-3) > 1$

EC: $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

Uniform writing: $1 = \log_{1/2}(1/2)$. Hence $\log_{1/2}(x-3) > \log_{1/2}(1/2)$.

Base $<1$, direction reversed: $x - 3 < \tfrac{1}{2} \iff x < \tfrac{7}{2}$.

Intersection with the EC: $3 < x < \tfrac{7}{2}$, that is $\boxed{x\in \left(3;\tfrac{7}{2}\right)}$.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Existence conditions · Logarithmic inequalities · Logarithm · Monotonicity
Functions: Logarithmic function
Skills: Reason by cases · Solve inequalities

Anche per il logaritmo, base minore di $1$ implica verso invertito (e l’argomento deve restare $>0$). I cinque esempi seguenti coprono i casi standard.

Esempio — $\log_{1/3}(x+1)\le 2$

CE: $x+1>0\iff x>-1$. Riscrivo $2=\log_{1/3}(1/9)$: $\log_{1/3}(x+1)\le\log_{1/3}(1/9).$ Base $<1$, verso invertito: $x+1\ge 1/9 \iff x\ge -8/9$. Intersezione con CE: $\boxed{x\ge -8/9}$.

Esempio — Base decimale $1/10$

$\log_{1/10}(2x-3)>-1$. CE: $2x-3>0\iff x>3/2$. Con $-1=\log_{1/10}(10)$: $\log_{1/10}(2x-3)>\log_{1/10}(10) \iff 2x-3<10 \iff x<13/2.$ Intersezione: $\boxed{3/2<x<13/2}$.

Esempio — Sostituzione con base $<1$

$(\log_{1/2}x)^2 - 3\log_{1/2}x + 2 \ge 0$. Pongo $t=\log_{1/2}x$ (con CE $x>0$): $t^2-3t+2\ge 0 \iff t\le 1 \vee t\ge 2.$ Torno a $x$:

• $\log_{1/2}x\le 1 \iff x\ge 1/2$ (verso invertito, base $<1$);
• $\log_{1/2}x\ge 2 \iff x\le 1/4$ (verso invertito).

Insieme con CE ($x>0$): $\boxed{0<x\le 1/4 \vee x\ge 1/2}$.

Esempio — Confronto di due log base $<1$

$\log_{1/4}(x-2)>\log_{1/4}(3x-7)$. CE: $x-2>0$ e $3x-7>0\iff x>7/3$. Base $<1$, verso invertito: $x-2<3x-7 \iff 5<2x \iff x>5/2$. Intersezione con CE: $\boxed{x>5/2}$.

Esempio — Confronto a $0$

$\log_{0,5}(x^2-4)>0$. CE: $x^2-4>0\iff x<-2\vee x>2$. Con $0=\log_{0,5}1$, base $<1$, verso invertito: $x^2-4<1 \iff x^2<5\iff -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}$. Intersezione con CE: $\boxed{-\sqrt{5}<x<-2 \vee 2<x<\sqrt{5}}$.

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For the logarithm too, a base less than $1$ implies a reversed direction (and the argument must remain $>0$). The five examples that follow cover the standard cases.

Example — $\log_{1/3}(x+1)\le 2$

EC: $x+1>0\iff x>-1$. I rewrite $2=\log_{1/3}(1/9)$: $\log_{1/3}(x+1)\le\log_{1/3}(1/9).$ Base $<1$, direction reversed: $x+1\ge 1/9 \iff x\ge -8/9$. Intersection with the EC: $\boxed{x\ge -8/9}$.

Example — Decimal base $1/10$

$\log_{1/10}(2x-3)>-1$. EC: $2x-3>0\iff x>3/2$. With $-1=\log_{1/10}(10)$: $\log_{1/10}(2x-3)>\log_{1/10}(10) \iff 2x-3<10 \iff x<13/2.$ Intersection: $\boxed{3/2<x<13/2}$.

Example — Substitution with base $<1$

$(\log_{1/2}x)^2 - 3\log_{1/2}x + 2 \ge 0$. I set $t=\log_{1/2}x$ (with EC $x>0$): $t^2-3t+2\ge 0 \iff t\le 1 \vee t\ge 2.$ I go back to $x$:

• $\log_{1/2}x\le 1 \iff x\ge 1/2$ (direction reversed, base $<1$);
• $\log_{1/2}x\ge 2 \iff x\le 1/4$ (direction reversed).

Together with the EC ($x>0$): $\boxed{0<x\le 1/4 \vee x\ge 1/2}$.

Example — Comparison of two logs with base $<1$

$\log_{1/4}(x-2)>\log_{1/4}(3x-7)$. EC: $x-2>0$ and $3x-7>0\iff x>7/3$. Base $<1$, direction reversed: $x-2<3x-7 \iff 5<2x \iff x>5/2$. Intersection with the EC: $\boxed{x>5/2}$.

Example — Comparison with $0$

$\log_{0,5}(x^2-4)>0$. EC: $x^2-4>0\iff x<-2\vee x>2$. With $0=\log_{0,5}1$, base $<1$, direction reversed: $x^2-4<1 \iff x^2<5\iff -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}$. Intersection with the EC: $\boxed{-\sqrt{5}<x<-2 \vee 2<x<\sqrt{5}}$.

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Un chiarimento cruciale sul rapporto tra inversione del verso e condizioni di esistenza.

Attenzione — Le CE si verificano sempre, anche con base $<1$

Il cambio di verso riguarda solo il passaggio da $\log_a f<\log_a g$ a $f$ vs $g$. Le condizioni di esistenza ($f>0,\ g>0$) restano invariate: non si invertono mai. È un errore comune scrivere "$f<0$" dopo aver invertito il verso: no, le CE vivono in un mondo a parte.

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A crucial clarification on the relationship between reversal of the direction and existence conditions.

Warning — The ECs hold always, even with base $<1$

The change of direction concerns only the passage from $\log_a f<\log_a g$ to $f$ vs $g$. The existence conditions ($f>0,\ g>0$) remain unchanged: they are never reversed. It is a common mistake to write "$f<0$" after having reversed the direction: no, the ECs live in a world of their own.

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