Posizioni reciproche di due rette

Nello spazio due rette possono essere parallele, coincidenti, incidenti oppure — novità rispetto al piano — sghembe: né parallele né incidenti. Un procedimento sistematico basato su parallelismo dei vettori direzione e su un sistema lineare permette di distinguere i quattro casi.

• I quattro casi
• Esempio - rette sghembe

In space two lines can be parallel, coincident, incident or — a novelty compared with the plane — skew: neither parallel nor incident. A systematic procedure based on the parallelism of the direction vectors and on a linear system allows one to distinguish the four cases.

• The four cases
• Example - skew lines

In sintesi — Come distinguere i quattro casi

Date $r_1:\vec S=\vec A+\vec v_1 t$ e $r_2:\vec S=\vec B+\vec v_2 s$:

1. $\vec v_1\parallel\vec v_2$? Se sì le rette sono parallele (oppure coincidenti: si verifica se un punto di $r_1$ appartiene a $r_2$).
2. Se $\vec v_1\not\parallel\vec v_2$ si imposta il sistema $\vec A+\vec v_1 t = \vec B+\vec v_2 s$ (3 equazioni, 2 incognite). Da due equazioni si ricavano $t,s$; la terza fa da verifica: se è soddisfatta le rette sono incidenti, altrimenti sono sghembe.

Le rette sghembe — né parallele né incidenti — sono la vera novità dello spazio: non esistono nel piano.

I tre casi non banali: rette parallele, incidenti e sghembe.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Retta · Retta nello spazio · Rette sghembe
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi

In brief — How to distinguish the four cases

Given $r_1:\vec S=\vec A+\vec v_1 t$ and $r_2:\vec S=\vec B+\vec v_2 s$:

1. Is $\vec v_1\parallel\vec v_2$? If yes the lines are parallel (or coincident: check whether a point of $r_1$ belongs to $r_2$).
2. If $\vec v_1\not\parallel\vec v_2$ set up the system $\vec A+\vec v_1 t = \vec B+\vec v_2 s$ (3 equations, 2 unknowns). From two equations one obtains $t,s$; the third acts as a check: if it is satisfied the lines are incident, otherwise they are skew.

Skew lines — neither parallel nor incident — are the real novelty of space: they do not exist in the plane.

The three non-trivial cases: parallel, incident and skew lines.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Line · Line in space · Skew lines
Skills: Analytic geometry · Reasoning by cases · Solving systems

Esempio — Rette sghembe

Siano $r_1: (x,y,z)=(-1,-1,5)+t(2,-1,0)$ e $r_2: (x,y,z)=(5,5,-3)+s(2,-1,-1)$.

Parallelismo. I vettori direzione $(2;-1;0)$ e $(2;-1;-1)$ hanno la terza componente $0\ne -1$: non sono paralleli.

Sistema. $\begin{cases}-1+2t=5+2s\\-1-t=5-s\\5=-3-s\end{cases}$ Dalla terza: $s=-8$. Dalla seconda: $t=-1-5+(-8)=-14$. Verifica sulla prima: $-1+2(-14) = -29$ mentre $5+2(-8)=-11$, e $-29\ne -11$: incompatibile ⚠.

Conclusione. Le rette sono sghembe.

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Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi

Example — Skew lines

Let $r_1: (x,y,z)=(-1,-1,5)+t(2,-1,0)$ and $r_2: (x,y,z)=(5,5,-3)+s(2,-1,-1)$.

Parallelism. The direction vectors $(2;-1;0)$ and $(2;-1;-1)$ have third component $0\ne -1$: they are not parallel.

System. $\begin{cases}-1+2t=5+2s\\-1-t=5-s\\5=-3-s\end{cases}$ From the third: $s=-8$. From the second: $t=-1-5+(-8)=-14$. Check on the first: $-1+2(-14) = -29$ whereas $5+2(-8)=-11$, and $-29\ne -11$: inconsistent ⚠.

Conclusion. The lines are skew.

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