Disequazioni esponenziali

Anche nelle disequazioni esponenziali si “toglie la base”, ma con una cautela in più: il verso della disuguaglianza si conserva se $a>1$ e si inverte se $0<a<1$. Dimenticare il cambio di verso è l’errore più frequente. La sezione stabilisce la regola, la illustra con molti esempi guidati a base minore di $1$ e mette in guardia dai due casi banali in cui l’esponenziale è sempre positiva.

• La regola dei versi
• Esempi guidati con base minore di 1
• I casi banali dell’esponenziale positiva

In exponential inequalities too one “removes the base”, but with an extra caution: the direction of the inequality is preserved if $a>1$ and reversed if $0<a<1$. Forgetting the change of direction is the most frequent mistake. The section establishes the rule, illustrates it with many guided examples with base less than $1$ and warns against the two trivial cases in which the exponential is always positive.

• The rule of the direction
• Guided examples with base less than 1
• The trivial cases of the positive exponential

La monotonia della funzione esponenziale detta il comportamento del verso quando si “toglie la base” in una disequazione.

Proprietà — Cambio di verso

Data una disequazione $a^{f(x)} \lessgtr a^{g(x)}$:

• se $a > 1$ (esponenziale crescente), il verso si conserva: la disequazione equivale a $f(x) \lessgtr g(x)$;
• se $0 < a < 1$ (esponenziale decrescente), il verso si inverte: equivale a $f(x) \gtrless g(x)$.

Attenzione — Cambio di verso

L’errore più frequente nelle disequazioni esponenziali è dimenticare il cambio di verso quando $0 < a < 1$. Un modo per ricordarselo è pensare al grafico: se la funzione è decrescente, valori più grandi di $x$ corrispondono a valori più piccoli di $y$, e viceversa — quindi un "$<$" sulle $y$ diventa un "$>$" sulle $x$.

Esempio — Base minore di 1

Risolvere $\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{x-1} > \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2x+1}$.

La base è $<1$, quindi il verso si inverte: $x - 1 < 2x + 1 \iff -2 < x \iff \boxed{x > -2}$.

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Argomenti: Funzione esponenziale
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Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

The monotonicity of the exponential function dictates the behaviour of the direction when one “removes the base” in an inequality.

Property — Change of direction

Given an inequality $a^{f(x)} \lessgtr a^{g(x)}$:

• if $a > 1$ (increasing exponential), the direction is preserved: the inequality is equivalent to $f(x) \lessgtr g(x)$;
• if $0 < a < 1$ (decreasing exponential), the direction is reversed: it is equivalent to $f(x) \gtrless g(x)$.

Warning — Change of direction

The most frequent mistake in exponential inequalities is forgetting the change of direction when $0 < a < 1$. One way to remember it is to think of the graph: if the function is decreasing, larger values of $x$ correspond to smaller values of $y$, and vice versa — so a "$<$" on the $y$ becomes a "$>$" on the $x$.

Example — Base less than 1

Solve $\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{x-1} > \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2x+1}$.

The base is $<1$, so the direction is reversed: $x - 1 < 2x + 1 \iff -2 < x \iff \boxed{x > -2}$.

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Cinque esempi guidati con base minore di $1$. La regola è sempre la stessa: il verso si inverte. Vediamo i casi più frequenti negli scritti.

Esempio — Base $1/2$, ridotta a stessa base

$\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2x+1}\le \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x-3}$. Base $<1\Rightarrow$ verso invertito: $2x+1\ge x-3 \iff x\ge -4$. Soluzione: $\boxed{x\ge -4}$.

Esempio — Riscrittura con base minore di 1

$5^{x+1}>\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{x-2}$. Riscrivendo $\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{x-2}=5^{-(x-2)}=5^{2-x}$: $5^{x+1}>5^{2-x} \iff x+1>2-x \iff x>\tfrac{1}{2}.$

Esempio — Base decimale $1/10$

$\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{x^2-1}<\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{2x-1}$. Base $<1$: $x^2-1>2x-1 \iff x^2-2x>0\iff x(x-2)>0 \iff x<0\ \vee\ x>2$.

Esempio — Sostituzione con base minore di 1

$\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2x}-5\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^x+4\ge 0$. Pongo $t=(1/2)^x>0$: $t^2-5t+4\ge 0 \iff (t-1)(t-4)\ge 0 \iff t\le 1 \ \vee\ t\ge 4.$ Torno a $x$: $(1/2)^x\le 1 \iff x\ge 0$ (verso invertito, base $<1$); $(1/2)^x\ge 4=(1/2)^{-2}\iff x\le -2$. Soluzione: $\boxed{x\le -2 \ \vee\ x\ge 0}$.

Esempio — "Trucco" del confronto a $1$

$\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{x^2-4}\ge 1$. Riscrivo $1=(2/3)^0$: $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{x^2-4}\ge\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^0$. Base $<1$: $x^2-4\le 0 \iff -2\le x\le 2$.

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Five guided examples with base less than $1$. The rule is always the same: the direction is reversed. Let us see the cases most frequent in written papers.

Example — Base $1/2$, reduced to the same base

$\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2x+1}\le \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x-3}$. Base $<1\Rightarrow$ direction reversed: $2x+1\ge x-3 \iff x\ge -4$. Solution: $\boxed{x\ge -4}$.

Example — Rewriting with base less than 1

$5^{x+1}>\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{x-2}$. Rewriting $\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{x-2}=5^{-(x-2)}=5^{2-x}$: $5^{x+1}>5^{2-x} \iff x+1>2-x \iff x>\tfrac{1}{2}.$

Example — Decimal base $1/10$

$\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{x^2-1}<\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{2x-1}$. Base $<1$: $x^2-1>2x-1 \iff x^2-2x>0\iff x(x-2)>0 \iff x<0\ \vee\ x>2$.

Example — Substitution with base less than 1

$\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2x}-5\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^x+4\ge 0$. I set $t=(1/2)^x>0$: $t^2-5t+4\ge 0 \iff (t-1)(t-4)\ge 0 \iff t\le 1 \ \vee\ t\ge 4.$ I return to $x$: $(1/2)^x\le 1 \iff x\ge 0$ (direction reversed, base $<1$); $(1/2)^x\ge 4=(1/2)^{-2}\iff x\le -2$. Solution: $\boxed{x\le -2 \ \vee\ x\ge 0}$.

Example — The "trick" of comparing with $1$

$\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{x^2-4}\ge 1$. I rewrite $1=(2/3)^0$: $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{x^2-4}\ge\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^0$. Base $<1$: $x^2-4\le 0 \iff -2\le x\le 2$.

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Poiché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva, alcune disequazioni si risolvono a colpo d’occhio, senza alcun calcolo.

Attenzione — Trappola: $a^{f(x)}<0$

Una disequazione del tipo $a^{f(x)}<0$ è impossibile (l’esponenziale è sempre positiva). $a^{f(x)}>0$ è invece sempre vera. Riconoscere subito questi due casi banali evita errori inutili.

Prima di lanciarsi in manipolazioni, conviene sempre guardare il segno del secondo membro: se è negativo, la disequazione "$>$" è automaticamente soddisfatta e la "$<$" è impossibile.

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Since the exponential function is always strictly positive, some inequalities can be solved at a glance, without any calculation.

Warning — Trap: $a^{f(x)}<0$

An inequality of the type $a^{f(x)}<0$ is impossible (the exponential is always positive). $a^{f(x)}>0$ is, on the other hand, always true. Recognising these two trivial cases at once avoids needless mistakes.

Before launching into manipulations, it is always worth looking at the sign of the right-hand side: if it is negative, the "$>$" inequality is automatically satisfied and the "$<$" one is impossible.

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