Competenza — Geometria analitica.
Presente nei capitoli
12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·28·36·37·42·44
Atomi collegati
234 atomi collegati.
12 La parabola
- Determinare l’equazione di una parabola e di una retta
- Distanze e intersezioni tra retta e parabola
- Due forme per trovare l’equazione
- Due parabole dal grafico ed espressione differenza
- Due parabole: equazioni, intersezioni e parabola differenza
- Due parabole: vertici, intersezioni e distanza tra i vertici
- Equazione di una parabola dai suoi elementi e parabola con minimo
- Intersezione retta-parabola e appartenenza di un punto
- Intersezione tra retta e parabola
- Intersezioni retta-parabola
- Natura delle intersezioni col discriminante
- Parabola come prodotto di due rette
- Parabola dalla forma canonica
- Parabola di vertice dato tangente a una retta
- Parabola e intersezione con una retta
- Parabola e retta, intersezioni e posizione reciproca
- Parabola esterna a una retta al variare di un parametro
- Parabola per tre punti
- Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (I)
- Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (II)
- Parabola: vertice e intersezioni con gli assi
- Parabola: vertice, intersezioni e distanza da un punto
- Problema del georettangolo: area come parabola
- Punti di una parabola a distanza fissata da una retta
- Retta con un solo punto in comune con la parabola senza essere tangente
- Retta tangente alla parabola
- Rettangolo di area massima in un semicerchio
- Rettangolo di perimetro dato: area massima
- Rette tangenti a una parabola da un punto esterno
- Riconoscere parabola e retta dal grafico e loro intersezioni
- Vertice e intersezioni con gli assi
- Vertice per completamento del quadrato
- Vertice, zeri e intercetta di una parabola
13 Radicali ed equazioni irrazionali
14 Equivalenza e teorema di Pitagora
15 Similitudine
16 Circonferenza
- Asse di un segmento in coordinate
- Distanza di un punto da una retta
- Punto su parabola a distanza assegnata
- Tangente e secante da un punto esterno
17 Disequazioni irrazionali
- Applicazione — rette a distanza assegnata
- Esempio — distanza nel fascio di rette
- Le distanze in geometria analitica
18 Fasci di rette
- Condizione di tangenza di un fascio a una parabola
- Esempio — Distanza fissata
- Esempio — Passaggio per un punto
- Esempio — Secante, tangente, esterna
- Esempio — Tangenza a una parabola
- Fascio a sostegno fisso e valore del parametro
- Fascio a sostegno fisso e valore del parametro
- Fascio di rette e condizione di tangenza a una parabola
- Fascio per un punto e fascio a sostegno fisso
- Fascio proprio e improprio a confronto
- Il fascio a due generatrici
- Il fascio improprio
- Il fascio proprio
- La scrittura monoparametrica
- La strategia per determinare il parametro
- Metodo generale per problemi sui fasci
- Retta del fascio parallela a una data
- Retta di un fascio proprio per un punto
- Retta di un fascio proprio per un punto
- Studio completo di un fascio
19 Luoghi geometrici nel piano cartesiano
- ‘Due rette: forme, parallele, perpendicolari e distanza’
- ‘Retta da due punti: equazione, perpendicolarità e intersezione’
- ‘Retta in forma frazionaria: parallela, perpendicolare e distanza’
- ‘Retta: intersezioni con gli assi, parallela e perpendicolare’
- ‘Rette: intersezione, parallela, perpendicolare e distanza’
- ‘Triangolo: perimetro, retta per due vertici e area’
- Asse di un segmento
- Asse di un segmento
- Asse di un segmento dato
- Asse, bisettrici e distanza in un triangolo
- Bisettrici di due rette
- Bisettrici di due rette date
- Definizione unificante delle coniche
- Distanza punto-retta
- Formule di fuoco, vertice e direttrice
- L’asse come luogo
- La bisettrice come luogo
- La nascita della geometria analitica
- La parabola come luogo
- Luogo geometrico
- Parabola come luogo da fuoco e direttrice
- Parabola da fuoco e direttrice
- Parabola da fuoco e direttrice
- Parallela e perpendicolare per un punto
- Perché il luogo è una retta
- Punto medio e distanza tra due punti
- Retta per due punti
- Retta per due punti, distanza e punto medio
- Retta, punti, distanze e parabola con vertice massimo
- Rette per i lati di un triangolo
- Triangolo rettangolo nel piano cartesiano
20 Circonferenza nel piano cartesiano
- Asse di un segmento e circonferenza per tre punti
- Asse radicale e intersezioni
- Centro e raggio di più circonferenze (I)
- Centro e raggio di più circonferenze (II)
- Centro, raggio e posizione di un punto
- Cerchio tangente a due rette: il trucco della bisettrice
- Circonferenza con centro su una retta e tangenti
- Circonferenza e tangenti da un punto esterno (I)
- Circonferenza e tangenti da un punto esterno (II)
- Circonferenza, intersezioni con una retta e tangenti parallele
- Circonferenze e parabole assegnate per condizioni
- Come determinare una circonferenza
- Come intersecare due circonferenze
- Dalla definizione all’equazione
- Definizione di circonferenza
- Due circonferenze, centri, raggi e intersezioni
- Equazione da centro e raggio
- Equazione di circonferenza da centro e raggio
- Esempio — intersezione di due circonferenze
- Esempio — tangenti con il metodo del delta
- Esempio — tangenti con il metodo della distanza
- Fascio di circonferenze dipendente da un parametro
- Forma implicita ed esplicita
- Il metodo delle tangenti da un punto
- Intersezione tra due circonferenze
- Intersezione tra retta e circonferenza
- L’asse radicale
- Metodo del delta e metodo della distanza
- Posizioni reciproche retta-circonferenza
- Quando un’equazione è una circonferenza
- Retta tangente a una circonferenza con i due metodi
- Tangente in un punto della circonferenza
- Tangenti a una circonferenza al variare dell’intercetta
- Tangenti a una circonferenza con più metodi
- Tangenti con il metodo della distanza
21 Ellisse
- Dimostrazione dell’equazione canonica
- Elementi dell’ellisse
- Elementi di 9x²+4y²=36
- Elementi di un’ellisse per completamento del quadrato
- Ellisse dati i fuochi e un punto
- Ellissi traslate
- Equazione canonica
- Esempio - determinare gli elementi
- Riconoscimento di un’ellisse
- Riconoscimento di un’ellisse traslata
22 Iperbole e funzione omografica
- Asintoti e centro di simmetria
- Classificazione di sei coniche
- Discussione di una conica dipendente da un parametro
- Elementi di un’iperbole
- Equazione canonica
- Esempio — studio di una funzione omografica
- Fuochi, vertici, asintoti ed eccentricità
- Iperbole equilatera riferita agli asintoti
- Iperbole equilatera xy=6
- Iperbole omografica dai due fuochi
- Iperboli traslate e non equilatere
- Porzione di iperbole da una funzione con radice
- Porzioni di conica da equazioni con radice
- Riconoscere una conica
- Studio completo di una funzione omografica
- Studio di una funzione omografica
- Studio di una funzione omografica con inversa
23 Funzioni, linguaggio e proprietà
24 Trasformazioni nel piano cartesiano
- Composizione di trasformazioni
- Dilatazioni e omotetie
- Ellisse con assi inclinati di 45 gradi
- Funzione omografica ruotata di 45 gradi
- Isometrie
- Le ellissi come circonferenze dilatate
- Parabola traslata
- Radice simmetrizzata rispetto all’asse y
- Rotazioni
- Simmetrico rispetto a una retta
- Simmetrie assiali
- Simmetrie centrali
- Trasformazione da circonferenza a ellisse
- Trasformazioni successive di una parabola
- Trasformazioni successive di una parabola in ordine
- Traslazioni
28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan
- arctan e il coefficiente angolare
- Esempi applicativi delle inverse
- Tangente, fascio e angolo sulla circonferenza goniometrica
36 Numeri complessi
37 Geometria analitica nello spazio
- Componente parallela e perpendicolare
- Conversione parametrica-cartesiana
- Coordinate cartesiane nello spazio
- Distanza punto-piano
- Distanza punto-retta
- Distanza punto-retta
- Distanza tra due rette sghembe
- Distanza, punto medio e baricentro
- Distanze retta-piano e piano-piano
- Equazione del piano
- Equazione della sfera
- Esempio - distanza tra due punti
- Esempio - rette sghembe
- Fascio di piani
- Fascio improprio
- Fascio improprio parallelo a un piano
- Fascio proprio
- Fascio proprio per una retta
- Forma cartesiana della retta
- Forma parametrica della retta
- I quattro casi
- Luogo equidistante da quattro punti
- Piani, retta e sfera nello spazio
- Piano per punto e normale
- Piano per tre punti
- Piano per tre punti
- Piano tangente alla sfera
- Posizione reciproca di due rette
- Posizione sfera-piano
- Posizioni reciproche retta-piano e angoli
- Prodotto scalare
- Prodotto vettoriale
- Raggio della sezione
- Retta e piano intersecante con sezione sferica
- Retta per due punti e scomposizione di un vettore
- Rette sghembe distanza e piano parallelo
- Sfera centro raggio e piano tangente
- Sfera e piano
- Sfera e piano sezione e piano tangente
- Talete nello spazio
- Tre piani e punto comune
- Versore
- Vettore nello spazio
- Vettore, modulo e punto medio
- Vettori paralleli
42 Derivate
- Angolo tra due parabole
- Area massima a perimetro fissato
- Distanza minima da un punto a una retta
- Distanza minima da un punto a una retta (2)
- Retta tangente e normale a una cubica
- Retta tangente e retta normale
- Tangente e normale a eˣ
- Tangenti in x=0 e intersezioni con una retta
44 Integrale
Skill — Analytic geometry.
Featured in chapters
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Linked atoms
234 linked atoms.
The parabola
- A line with a single common point with the parabola without being tangent
- Distances and intersections between a line and a parabola
- Equation of a parabola from its elements and a parabola with a minimum
- Finding the equation of a parabola and of a line
- Intersection of a line and a parabola
- Line tangent to the parabola
- Line-parabola intersection and whether a point belongs to a curve
- Line–parabola intersections
- Nature of the intercepts via the discriminant
- Parabola and intersection with a line
- Parabola and line, intersections and relative position
- Parabola as a product of two lines
- Parabola disjoint from a line as a parameter varies
- Parabola from vertex form
- Parabola through three points
- Parabola with a given vertex tangent to a line
- Parabola, secant line, perpendicular and distance (I)
- Parabola, secant line, perpendicular and distance (II)
- Parabola: vertex and intercepts with the axes
- Parabola: vertex, intercepts and distance from a point
- Points of a parabola at a fixed distance from a line
- Recognising a parabola and a line from the graph and their intersections
- Rectangle of maximum area in a semicircle
- Rectangle with given perimeter: maximum area
- Tangent lines to a parabola from an external point
- The georectangle problem: area as a parabola
- Two forms for finding the equation
- Two parabolas from a graph and their difference
- Two parabolas: equations, intersections and difference parabola
- Two parabolas: vertices, intercepts and distance between the vertices
- Vertex and axis intercepts
- Vertex by completing the square
- Vertex, roots and intercept of a parabola
Surds and irrational equations
Equivalence and Pythagoras’ theorem
Similarity
Circle (Euclidean geometry)
- Distance of a point from a line
- Perpendicular bisector of a segment in coordinates
- Point on a parabola at a given distance
- Tangent and secant from an external point
Irrational inequalities
- Application — lines at an assigned distance
- Distances in analytic geometry
- Example — distance in a pencil of lines
Pencils of lines
- Complete study of a pencil
- Example — Fixed distance
- Example — Passing through a point
- Example — Secant, tangent, external
- Example — Tangency to a parabola
- Fixed-base pencil and the parameter value
- Fixed-base pencil and the parameter value
- General method for pencil problems
- Line of a proper pencil through a point
- Line of a proper pencil through a point
- Pencil line parallel to a given one
- Pencil of lines and tangency condition to a parabola
- Pencil through a point and pencil with a fixed base point
- Proper and improper pencils compared
- Tangency condition of a pencil to a parabola
- The improper pencil
- The pencil with two generators
- The proper pencil
- The single-parameter notation
- The strategy for determining the parameter
Geometric loci in the Cartesian plane
- ‘Line in fractional form: parallel, perpendicular and distance’
- ‘Line through two points: equation, perpendicularity and intersection’
- ‘Line: axis intercepts, parallel and perpendicular’
- ‘Lines: intersection, parallel, perpendicular and distance’
- ‘Triangle: perimeter, line through two vertices and area’
- ‘Two lines: forms, parallel, perpendicular and distance’
- A unifying definition of the conics
- Bisector, angle bisectors and distance in a triangle
- Bisectors of two given lines
- Bisectors of two lines
- Distance from a point to a line
- Formulae for focus, vertex and directrix
- Line through two points
- Line through two points, distance and midpoint
- Line, points, distances and a parabola with maximum vertex
- Lines through the sides of a triangle
- Locus
- Midpoint and distance between two points
- Parabola as a locus from focus and directrix
- Parabola from focus and directrix
- Parabola from focus and directrix
- Parallel and perpendicular through a point
- Perpendicular bisector of a given segment
- Perpendicular bisector of a segment
- Perpendicular bisector of a segment
- Right triangle in the Cartesian plane
- The birth of analytic geometry
- The bisector as a locus
- The parabola as a locus
- The perpendicular bisector as a locus
- Why the locus is a line
The circle in the Cartesian plane
- A family of circles depending on a parameter
- Centre and radius of several circles (I)
- Centre and radius of several circles (II)
- Centre, radius and position of a point
- Circle and tangents from an external point (I)
- Circle and tangents from an external point (II)
- Circle equation from centre and radius
- Circle tangent to two lines: the angle-bisector trick
- Circle with centre on a line, and tangents
- Circle, intersections with a line and parallel tangents
- Circles and parabolas assigned by conditions
- Definition of a circle
- Equation from centre and radius
- Example — intersection of two circles
- Example — tangents with the delta method
- Example — tangents with the distance method
- From the definition to the equation
- How to determine a circle
- How to intersect two circles
- Implicit and explicit form
- Intersection of two circles
- Line–circle intersection
- Perpendicular bisector and circle through three points
- Radical axis and intersections
- Relative positions of a line and a circle
- Tangent at a point of the circle
- Tangent line to a circle with both methods
- Tangents to a circle as the intercept varies
- Tangents to a circle by several methods
- Tangents with the distance method
- The delta method and the distance method
- The method of tangents from a point
- The radical axis
- Two circles, centres, radii and intersections
- When an equation is a circle
Ellipse
- Canonical equation
- Elements of 9x²+4y²=36
- Elements of an ellipse by completing the square
- Elements of the ellipse
- Ellipse given the foci and a point
- Example - determining the elements
- Proof of the canonical equation
- Recognising a translated ellipse
- Recognising an ellipse
- Translated ellipses
Hyperbola and homographic function
- Asymptotes and centre of symmetry
- Canonical equation
- Classifying six conics
- Conic portions from equations with a square root
- Discussion of a conic depending on a parameter
- Elements of a hyperbola
- Example — studying a homographic function
- Foci, vertices, asymptotes and eccentricity
- Full study of a homographic function
- Homographic hyperbola from its two foci
- Portion of a hyperbola from a function with a square root
- Recognising a conic
- Rectangular hyperbola referred to its asymptotes
- Rectangular hyperbola xy=6
- Study of a homographic function
- Study of a homographic function with its inverse
- Translated and non-rectangular hyperbolas
Functions: language and properties
Transformations in the Cartesian plane
- Composizione di trasformazioni
- Dilatazioni e omotetie
- Ellipse with axes tilted by 45 degrees
- Ellipses as dilated circles
- Homographic function rotated by 45 degrees
- Isometrie
- Rotazioni
- Simmetrie assiali
- Simmetrie centrali
- Square root reflected across the y-axis
- Successive transformations of a parabola
- Successive transformations of a parabola in order
- Symmetric point with respect to a line
- Transformation from circle to ellipse
- Translated parabola
- Traslazioni
The unit circle and the functions sine, cosine, tangent
- arctan and the gradient
- Tangent, pencil of lines and angle on the unit circle
- Worked examples of the inverses
Complex numbers
Analytic geometry in space
- Cartesian coordinates in space
- Cartesian form of the line
- Distance between two skew lines
- Distance, midpoint and centroid
- Equation of the plane
- Equation of the sphere
- Example - distance between two points
- Example - skew lines
- Improper pencil
- Improper pencil parallel to a plane
- Line and plane intersecting with spherical section
- Line through two points and decomposition of a vector
- Line-plane and plane-plane distances
- Locus equidistant from four points
- Parallel and perpendicular component
- Parallel vectors
- Parametric form of the line
- Parametric-Cartesian conversion
- Pencil of planes
- Plane through a point with given normal
- Plane through three points
- Plane through three points
- Planes, line and sphere in space
- Point-line distance
- Point-line distance
- Point-plane distance
- Proper pencil
- Proper pencil through a line
- Radius of the section
- Relative position of two lines
- Relative positions of line and plane and angles
- Scalar product
- Skew lines distance and parallel plane
- Sphere and plane
- Sphere and plane section and tangent plane
- Sphere centre radius and tangent plane
- Sphere-plane position
- Tangent plane to the sphere
- Thales in space
- The four cases
- Three planes and a common point
- Unit vector
- Vector in space
- Vector product
- Vector, magnitude and midpoint
Derivatives
- Angle between two parabolas
- Maximum area at fixed perimeter
- Minimum distance from a point to a line
- Minimum distance from a point to a line (2)
- Tangent and normal line to a cubic
- Tangent and normal to eˣ
- Tangent line and normal line
- Tangents at x=0 and intersections with a line