Tangenti da un punto

Trovare le tangenti a una circonferenza condotte da un punto assegnato è un problema classico che si risolve sempre con lo stesso schema: si scrive il fascio di rette per il punto e si impone la tangenza, con il metodo del delta o con quello della distanza. La sezione presenta il metodo generale, due esempi svolti a confronto e il caso particolare della tangente in un punto che sta sulla circonferenza.

• Il metodo delle tangenti da un punto
• Esempio — tangenti con il metodo del delta
• Esempio — tangenti con il metodo della distanza
• Tangente in un punto della circonferenza

Finding the tangents to a circle drawn from a given point is a classic problem that is always solved with the same scheme: one writes the pencil of lines through the point and imposes tangency, with the delta method or the distance method. The section presents the general method, two worked examples in comparison, and the special case of the tangent at a point lying on the circle.

• The method of tangents from a point
• Example — tangents with the delta method
• Example — tangents with the distance method
• Tangent at a point of the circle

Il problema di trovare le tangenti a una circonferenza $\gamma$ passanti per un punto assegnato $P$ si risolve sempre nello stesso modo: si parte dal fascio di rette di sostegno $P$, si impone che la retta del fascio sia tangente a $\gamma$, si risolve rispetto a $m$ (o al parametro del fascio).

I valori trovati sono al più due, e corrispondono a:

• le due tangenti da un punto esterno;
• l’unica tangente da un punto sulla circonferenza;
• nessuna tangente se $P$ è interno.

Attenzione alla retta verticale $x = x_P$: il fascio $y - y_P = m(x - x_P)$ non la contiene, quindi va sempre controllata a parte.

Nella simulazione seguente le due tangenti condotte dal punto esterno $P$ toccano la circonferenza nei punti di tangenza: i due segmenti di tangenza hanno sempre la stessa lunghezza, $PT = \sqrt{PO^2 - r^2}$.

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Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica

The problem of finding the tangents to a circle $\gamma$ passing through a given point $P$ is always solved in the same way: one starts from the pencil of lines through $P$, imposes that the line of the pencil be tangent to $\gamma$, and solves with respect to $m$ (or to the parameter of the pencil).

The values found are at most two, and they correspond to:

• the two tangents from an external point;
• the single tangent from a point on the circle;
• no tangent if $P$ is internal.

Beware of the vertical line $x = x_P$: the pencil $y - y_P = m(x - x_P)$ does not contain it, so it must always be checked separately.

In the following simulation the two tangents drawn from the external point $P$ touch the circle at the tangency points: the two tangent segments always have the same length, $PT = \sqrt{PO^2 - r^2}$.

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Topics: Circonferenza analitica
Concepts: Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Methods: Circonferenza tangenti
Skills: Geometria analitica

Esempio — Tangenti da un punto esterno, metodo del $\Delta$

Trovare le tangenti alla circonferenza $\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ passanti per $P(0;4)$.

Centro e raggio: $C(1;2)$, con $R^2 = \dfrac{(-2)^2}{4} + \dfrac{(-4)^2}{4} - 4 = 1 + 4 - 4 = 1$, cioè $R = 1$.

Fascio per $P$: $y - 4 = m\,x$, ovvero $mx - y + 4 = 0$. Mettiamo a sistema con $\gamma$: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \end{cases}$ Sostituendo $y$ nella seconda equazione: $x^2 + (mx+4)^2 - 2x - 4(mx+4) + 4 = 0 \implies (1+m^2)x^2 + (4m-2)x + 4 = 0.$

Tangenza: $\Delta = 0$. $\Delta = (4m-2)^2 - 16(1+m^2) = 16m^2 - 16m + 4 - 16 - 16m^2 = -16m - 12.$ $\Delta = 0 \iff m = -\tfrac{3}{4}$. Dal fascio troviamo una sola tangente.

La generatrice esclusa. Il fascio $y - 4 = m\,x$ non include la retta verticale $x = 0$. Controlliamola direttamente: sostituendo $x = 0$ nell’equazione di $\gamma$ si ha $y^2 - 4y + 4 = 0 \iff (y-2)^2 = 0 \iff y = 2$ (radice doppia). Dunque $x = 0$ interseca $\gamma$ in un solo punto con molteplicità due: è tangente.

Soluzione: due tangenti, $\boxed{y = -\tfrac{3}{4}x + 4 \ \text{e}\ x = 0.}$ ✓

Le due tangenti a $\gamma$ condotte dal punto esterno $P$: la retta $y=-\tfrac34 x+4$ e la retta verticale $x=0$.

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Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Example — Tangents from an external point, the $\Delta$ method

Find the tangents to the circle $\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ passing through $P(0;4)$.

Centre and radius: $C(1;2)$, with $R^2 = \dfrac{(-2)^2}{4} + \dfrac{(-4)^2}{4} - 4 = 1 + 4 - 4 = 1$, that is $R = 1$.

Pencil through $P$: $y - 4 = m\,x$, that is $mx - y + 4 = 0$. We set up the system with $\gamma$: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \end{cases}$ Substituting $y$ into the second equation: $x^2 + (mx+4)^2 - 2x - 4(mx+4) + 4 = 0 \implies (1+m^2)x^2 + (4m-2)x + 4 = 0.$

Tangency: $\Delta = 0$. $\Delta = (4m-2)^2 - 16(1+m^2) = 16m^2 - 16m + 4 - 16 - 16m^2 = -16m - 12.$ $\Delta = 0 \iff m = -\tfrac{3}{4}$. From the pencil we find a single tangent.

The excluded generator. The pencil $y - 4 = m\,x$ does not include the vertical line $x = 0$. Let us check it directly: substituting $x = 0$ into the equation of $\gamma$ gives $y^2 - 4y + 4 = 0 \iff (y-2)^2 = 0 \iff y = 2$ (double root). Hence $x = 0$ meets $\gamma$ at a single point with multiplicity two: it is tangent.

Solution: two tangents, $\boxed{y = -\tfrac{3}{4}x + 4 \ \text{e}\ x = 0.}$ ✓

The two tangents to $\gamma$ drawn from the external point $P$: the line $y=-\tfrac34 x+4$ and the vertical line $x=0$.

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Skills: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Esempio — Tangenti da punto esterno, metodo della distanza

Stesso problema dell’esempio precedente ($\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$, $C(1;2)$, $R=1$, $P(0;4)$), risolto imponendo $d(C, r) = R$.

Fascio: $mx - y + 4 = 0$ (escludendo $x=0$).

Distanza: $d(C, r) = \frac{|m\cdot 1 - 1\cdot 2 + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m+2|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Tangenza: $d(C, r) = R = 1 \iff |m+2| = \sqrt{m^2+1}$. Siamo in un caso $|A| = \sqrt{B}$, con entrambi i membri $\ge 0$: si eleva al quadrato direttamente. $(m+2)^2 = m^2 + 1 \iff m^2 + 4m + 4 = m^2 + 1 \iff 4m = -3 \iff m = -\tfrac{3}{4}.$ Si ritrova lo stesso valore di $m$, senza calcoli faticosi. La retta $x=0$ va sempre controllata a parte, come nell’esempio precedente. ✓

Il confronto tra i due esempi mostra il vantaggio del metodo della distanza: porta a un’equazione più semplice (di primo grado in $m$, in questo caso) e conduce allo stesso risultato con meno passaggi.

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Concetti: Distanza punto retta · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Example — Tangents from an external point, the distance method

The same problem as the previous example ($\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$, $C(1;2)$, $R=1$, $P(0;4)$), solved by imposing $d(C, r) = R$.

Pencil: $mx - y + 4 = 0$ (excluding $x=0$).

Distance: $d(C, r) = \frac{|m\cdot 1 - 1\cdot 2 + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m+2|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Tangency: $d(C, r) = R = 1 \iff |m+2| = \sqrt{m^2+1}$. We are in a case $|A| = \sqrt{B}$, with both sides $\ge 0$: one squares directly. $(m+2)^2 = m^2 + 1 \iff m^2 + 4m + 4 = m^2 + 1 \iff 4m = -3 \iff m = -\tfrac{3}{4}.$ We recover the same value of $m$, without laborious calculations. The line $x=0$ must always be checked separately, as in the previous example. ✓

The comparison between the two examples shows the advantage of the distance method: it leads to a simpler equation (of first degree in $m$, in this case) and reaches the same result with fewer steps.

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Concepts: Distanza punto retta · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Methods: Circonferenza tangenti
Skills: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Quando il punto da cui condurre la tangente sta sulla circonferenza, il problema si semplifica: c’è una sola tangente e si può trovare per via geometrica, sfruttando la proprietà che la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.

Osservazione — Tangente in un punto della circonferenza

Se il punto $T$ è sulla circonferenza, c’è una sola tangente e si può trovare anche in modo “geometrico”: la tangente è perpendicolare al raggio $CT$ nel punto $T$. Si calcola il coefficiente angolare di $CT$, si prende il suo opposto reciproco e si scrive la retta per $T$.

Questo evita del tutto il sistema con la circonferenza: bastano il coefficiente angolare di $CT$ e la condizione di perpendicolarità $m_{\text{tan}} = -\dfrac{1}{m_{CT}}$.

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Concetti: Coefficiente angolare · Perpendicolarita · Raggio · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica

When the point from which the tangent is drawn lies on the circle, the problem simplifies: there is a single tangent and it can be found geometrically, exploiting the property that the tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.

Observation — Tangent at a point of the circle

If the point $T$ lies on the circle, there is a single tangent and it can also be found in a “geometric” way: the tangent is perpendicular to the radius $CT$ at the point $T$. One computes the gradient of $CT$, takes its negative reciprocal and writes the line through $T$.

This avoids the system with the circle altogether: the gradient of $CT$ and the perpendicularity condition $m_{\text{tan}} = -\dfrac{1}{m_{CT}}$ are enough.

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