Iperbole equilatera

Quando i due semiassi sono uguali ($a=b$) l’iperbole si dice equilatera: i suoi asintoti diventano le bisettrici dei quadranti, perpendicolari tra loro. Se poi si ruota il riferimento di $45°$ fino a farlo coincidere con gli asintoti, l’equazione assume la forma semplicissima $xy=k$: è la proporzionalità inversa già incontrata in Prima.

• Definizione di iperbole equilatera
• Iperbole equilatera riferita agli asintoti

When the two semi-axes are equal ($a=b$) the hyperbola is said to be rectangular: its asymptotes become the bisectors of the quadrants, perpendicular to each other. If one then rotates the frame by $45°$ until it coincides with the asymptotes, the equation takes the very simple form $xy=k$: it is the inverse proportionality already met in Year One.

• Definition of the rectangular hyperbola
• Rectangular hyperbola referred to its asymptotes

Un caso particolare notevole si ha quando i due semiassi coincidono.

Definizione — Iperbole equilatera

Un’iperbole è equilatera se $a = b$. In tal caso l’equazione canonica diventa $x^2 - y^2 = a^2,$ gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti $y = \pm x$ (perpendicolari tra loro).

La perpendicolarità degli asintoti è la caratteristica geometrica che distingue immediatamente un’iperbole equilatera da una qualsiasi.

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Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Iperbole equilatera
Funzioni: Iperbole

A notable special case occurs when the two semi-axes coincide.

Definition — Rectangular hyperbola

A hyperbola is rectangular if $a = b$. In this case the canonical equation becomes $x^2 - y^2 = a^2,$ and the asymptotes are the bisectors of the quadrants $y = \pm x$ (perpendicular to each other).

The perpendicularity of the asymptotes is the geometric feature that immediately distinguishes a rectangular hyperbola from any other.

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Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Asymptote · Rectangular hyperbola
Functions: Hyperbola

Se scegliamo come assi cartesiani gli asintoti stessi dell’iperbole equilatera, l’equazione si semplifica ulteriormente.

Proprietà — Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Se ruotiamo il sistema di riferimento di $45°$ portando gli asintoti a coincidere con gli assi cartesiani, l’iperbole equilatera $x^2 - y^2 = a^2$ assume la forma $xy = k, \qquad k = \tfrac{a^2}{2}.$

In questo sistema, l’iperbole è il grafico della funzione $y = \tfrac{k}{x}$: quella che in Prima abbiamo chiamato “proporzionalità inversa”. La stessa curva, quindi, appare come $x^2-y^2=a^2$ nel riferimento centrato sull’asse focale e come $xy=k$ nel riferimento allineato agli asintoti.

Storia — La quadratura dell'iperbole

Proprio da questa curva nasce il logaritmo. Nel 1647 il gesuita Grégoire de Saint-Vincent dimostrò che l’area sotto l’iperbole $xy=k$ cresce come una progressione aritmetica quando le ascisse crescono in progressione geometrica: è esattamente la proprietà che caratterizza un logaritmo (Boyer). Il suo allievo Alfonso Antonio de Sarasa rese esplicito il legame nel 1649, e vent’anni dopo Nicholas Mercator ricavò da questa quadratura lo sviluppo in serie di $\ln(1+x)$ (Katz).

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Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Iperbole equilatera · Proporzionalita inversa
Funzioni: Iperbole
Competenze: Geometria analitica
Persone: Alfonso Antonio de Sarasa · Grégoire de Saint-Vincent · Nicholas Mercator

If we choose the asymptotes themselves of the rectangular hyperbola as the Cartesian axes, the equation simplifies further.

Property — Rectangular hyperbola referred to its asymptotes

If we rotate the reference frame by $45°$ so that the asymptotes coincide with the Cartesian axes, the rectangular hyperbola $x^2 - y^2 = a^2$ takes the form $xy = k, \qquad k = \tfrac{a^2}{2}.$

In this frame, the hyperbola is the graph of the function $y = \tfrac{k}{x}$: what in Year One we called “inverse proportionality”. The same curve, therefore, appears as $x^2-y^2=a^2$ in the frame centred on the focal axis and as $xy=k$ in the frame aligned with the asymptotes.

History — The quadrature of the hyperbola

The logarithm was born from this very curve. In 1647 the Jesuit Grégoire de Saint-Vincent proved that the area under the hyperbola $xy=k$ grows in arithmetic progression as the abscissas grow in geometric progression: exactly the property that characterises a logarithm (Boyer). His pupil Alfonso Antonio de Sarasa made the connection explicit in 1649, and twenty years later Nicholas Mercator derived from this quadrature the series expansion of $\ln(1+x)$ (Katz).

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Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Asymptote · Rectangular hyperbola · Inverse proportionality
Functions: Hyperbola
Skills: Analytic geometry

Uno dei risultati più eleganti del Seicento nasce proprio dall’iperbole equilatera $xy = k$, cioè dal grafico della proporzionalità inversa $y = \tfrac{k}{x}$. Il problema che affascinava i matematici dell’epoca era la quadratura: calcolare l’area della regione compresa fra la curva, l’asse delle ascisse e due rette verticali.

Nel 1647, nel monumentale Opus geometricum, il gesuita fiammingo Grégoire de Saint-Vincent scoprì una proprietà notevole di quest’area. Indichiamo con $A(a,b)$ l’area sotto l’iperbole $y = \tfrac{1}{x}$ fra le ascisse $a$ e $b$. Saint-Vincent osservò che, moltiplicando entrambi gli estremi per uno stesso fattore, l’area non cambia: $A(a,b) = A(\lambda a, \lambda b).$ La ragione geometrica è che allungare le ascisse di un fattore $\lambda$ schiaccia le ordinate dello stesso fattore, lasciando invariata l’area. Da qui segue subito la proprietà chiave: $A(1, xy) = A(1, x) + A(1, y).$ In altre parole, se le ascisse crescono in progressione geometrica, le aree corrispondenti crescono in progressione aritmetica. Ma questo è esattamente il comportamento che, pochi decenni prima, John Napier (Nepero) aveva posto a fondamento dei suoi logaritmi.

Fu l’allievo di Saint-Vincent, Alfonso Antonio de Sarasa, a rendere esplicito il legame nel 1649: l’area sotto l’iperbole è un logaritmo. Con il linguaggio moderno, $\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}.$ La curva più semplice dopo la retta racchiude dunque la funzione logaritmo, e la base che ne emerge naturalmente è il numero $e$: per questo si parla di logaritmo naturale.

La storia si chiude nel 1668, quando Nicholas Mercator, nella Logarithmotechnia, ricavò da questa stessa quadratura il celebre sviluppo in serie $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,$ uno dei primi esempi di serie di potenze prima dell’avvento sistematico del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz.

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Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Area · Iperbole equilatera · Logaritmo · Proporzionalita inversa
Persone: Alfonso Antonio de Sarasa · Grégoire de Saint-Vincent · John Napier (Nepero) · Nicholas Mercator

One of the most elegant results of the seventeenth century springs directly from the rectangular hyperbola $xy = k$, that is, from the graph of the inverse proportionality $y = \tfrac{k}{x}$. The problem that fascinated mathematicians of the time was quadrature: computing the area of the region bounded by the curve, the $x$-axis and two vertical lines.

In 1647, in his monumental Opus geometricum, the Flemish Jesuit Grégoire de Saint-Vincent discovered a remarkable property of this area. Write $A(a,b)$ for the area under the hyperbola $y = \tfrac{1}{x}$ between the abscissas $a$ and $b$. Saint-Vincent observed that multiplying both endpoints by the same factor leaves the area unchanged: $A(a,b) = A(\lambda a, \lambda b).$ The geometric reason is that stretching the abscissas by a factor $\lambda$ compresses the ordinates by the same factor, keeping the area constant. From this the key property follows at once: $A(1, xy) = A(1, x) + A(1, y).$ In other words, if the abscissas grow in geometric progression, the corresponding areas grow in arithmetic progression. But this is exactly the behaviour that, a few decades earlier, John Napier had made the foundation of his logarithms.

It was Saint-Vincent’s pupil, Alfonso Antonio de Sarasa, who made the link explicit in 1649: the area under the hyperbola is a logarithm. In modern language, $\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}.$ The simplest curve after the straight line thus encloses the logarithm function, and the base that emerges naturally is the number $e$: this is why we speak of the natural logarithm.

The story closes in 1668, when Nicholas Mercator, in his Logarithmotechnia, derived from this same quadrature the celebrated series expansion $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,$ one of the first examples of a power series before the systematic advent of the infinitesimal calculus of Newton and Leibniz.

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Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Rectangular hyperbola · Inverse proportionality · Logarithm · Area
People: Grégoire de Saint-Vincent · Alfonso Antonio de Sarasa · Nicholas Mercator · John Napier (Nepero)