La bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo formato da due rette è il luogo dei punti equidistanti dalle due rette. Poiché due rette formano due angoli supplementari, esistono due bisettrici, tra loro perpendicolari. Vediamo la definizione come luogo e un esempio completo di ricerca delle equazioni.

• La bisettrice come luogo
• Bisettrici di due rette date

The bisector of an angle formed by two lines is the locus of the points equidistant from the two lines. Since two lines form two supplementary angles, there are two bisectors, mutually perpendicular. We look at the definition as a locus and a complete example of finding the equations.

• The bisector as a locus
• Bisectors of two given lines

Osservazione

La bisettrice di un angolo formato da due rette $r$ e $s$ è il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da $r$ e da $s$: $P \in b \iff d(P, r) = d(P, s).$ Si osservi che le due rette formano due angoli (supplementari) e quindi hanno due bisettrici, tra loro perpendicolari.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Bisettrice · Distanza punto retta · Luogo geometrico · Retta
Competenze: Geometria analitica

Remark

The bisector of an angle formed by two lines $r$ and $s$ is the locus of the points of the plane that are equidistant from $r$ and from $s$: $P \in b \iff d(P, r) = d(P, s).$ Note that the two lines form two (supplementary) angles and therefore have two bisectors, mutually perpendicular.

Links

Topics: Loci
Concepts: Bisector · Point–line distance · Locus · Line
Skills: Analytic geometry

Esempio

Scrivere le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da $r:\ y - 2 = 0$ e $s:\ x - y = 0$.

Scrittura implicita: $r:\ 0\cdot x + 1\cdot y - 2 = 0$, $s:\ 1\cdot x - 1\cdot y = 0$.

Condizione di luogo: $\frac{|y_P - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|x_P - y_P|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \implies |y - 2| \cdot \sqrt{2} = |x - y|.$ Portando $\sqrt{2}$ dentro il primo valore assoluto: $|\sqrt{2}(y-2)| = |x-y|$. Siamo in un caso $|A| = |C|$, che si risolve con l’unione dei due casi $A = C$ e $A = -C$: $\sqrt{2}(y-2) = x - y \ \cup\ \sqrt{2}(y-2) = -(x - y).$ Svolgendo si ottengono: $b_1:\ y = (\sqrt{2}-1)x + 2(2-\sqrt{2}) \approx 0.414\,x + 1.17,$ $b_2:\ y = -(\sqrt{2}+1)x - 2(2+\sqrt{2}) \approx -2.414\,x - 6.83.$

Verifica. Le due bisettrici sono perpendicolari: $m_1 m_2 = (\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2}-1) = -(\sqrt{2}^2 - 1) = -1$. ✓

Le due rette $r$ ed $s$ e le loro bisettrici $b_1$ e $b_2$, perpendicolari tra loro.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Bisettrice · Distanza punto retta · Retta · Valore assoluto
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Example

Write the equations of the bisectors of the angles formed by $r:\ y - 2 = 0$ and $s:\ x - y = 0$.

Implicit form: $r:\ 0\cdot x + 1\cdot y - 2 = 0$, $s:\ 1\cdot x - 1\cdot y = 0$.

Locus condition: $\frac{|y_P - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|x_P - y_P|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \implies |y - 2| \cdot \sqrt{2} = |x - y|.$ Bringing $\sqrt{2}$ inside the first absolute value: $|\sqrt{2}(y-2)| = |x-y|$. We are in a case $|A| = |C|$, which is solved with the union of the two cases $A = C$ and $A = -C$: $\sqrt{2}(y-2) = x - y \ \cup\ \sqrt{2}(y-2) = -(x - y).$ Working through, we obtain: $b_1:\ y = (\sqrt{2}-1)x + 2(2-\sqrt{2}) \approx 0.414\,x + 1.17,$ $b_2:\ y = -(\sqrt{2}+1)x - 2(2+\sqrt{2}) \approx -2.414\,x - 6.83.$

Check. The two bisectors are perpendicular: $m_1 m_2 = (\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2}-1) = -(\sqrt{2}^2 - 1) = -1$. ✓

The two lines $r$ and $s$ and their bisectors $b_1$ and $b_2$, mutually perpendicular.

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Topics: Loci
Concepts: Bisector · Point–line distance · Line · Absolute value
Skills: Analytic geometry · Solving equations