Dilatazioni e omotetie

A differenza delle isometrie, le dilatazioni non conservano le distanze ma le moltiplicano per fattori di scala. Quando i due fattori (orizzontale e verticale) coincidono, la dilatazione è uniforme e prende il nome di omotetia: la figura ottenuta è simile all’originale. Vediamo la definizione, l’effetto sulle equazioni delle curve e l’esempio classico dell’ellisse come circonferenza dilatata.

• Dilatazioni e omotetie
• Le ellissi come circonferenze dilatate

Unlike isometries, dilations do not preserve distances but multiply them by scale factors. When the two factors (horizontal and vertical) coincide, the dilation is uniform and is called a homothety: the resulting figure is similar to the original. We shall see the definition, the effect on the equations of curves and the classic example of the ellipse as a dilated circle.

• Dilations and homotheties
• Ellipses as dilated circles

Le dilatazioni sono trasformazioni che riscalano il piano, allargandolo o restringendolo lungo le due direzioni. Non sono isometrie, perché in generale modificano le distanze.

Definizione — Dilatazione e omotetia

Una dilatazione (non uniforme) è una trasformazione del tipo $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y),$ con $\lambda, \mu > 0$ fattori di scala indipendenti. Non è un’isometria: moltiplica le distanze orizzontali per $\lambda$ e quelle verticali per $\mu$. Se $\lambda = \mu$, la dilatazione è uniforme e prende il nome di omotetia di rapporto $\lambda$: in tal caso le distanze sono moltiplicate uniformemente per $\lambda$, gli angoli sono conservati e la figura risulta simile all’originale.

Proprietà — Effetto sulle curve

La dilatazione $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y)$ trasforma l’equazione $f(x,y)=0$ in $f\!\left(\tfrac{x}{\lambda},\ \tfrac{y}{\mu}\right)=0.$ Analogamente al caso delle traslazioni, si usa l’inversa della trasformazione nelle sostituzioni.

Nella simulazione seguente puoi esplorare l’omotetia di centro $O$ e rapporto $k$: per $k>1$ la figura si ingrandisce, per $0<k<1$ si rimpiccolisce, per $k<0$ si ingrandisce e si ribalta rispetto a $O$, e le lunghezze risultano moltiplicate per $|k|$.

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Dilatazione · Omotetia
Metodi: Trasformazioni omotetie
Competenze: Geometria analitica

Dilations are transformations that rescale the plane, stretching or shrinking it along the two directions. They are not isometries, because in general they change distances.

Definition — Dilation and homothety

A (non-uniform) dilation is a transformation of the form $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y),$ with $\lambda, \mu > 0$ independent scale factors. It is not an isometry: it multiplies horizontal distances by $\lambda$ and vertical ones by $\mu$. If $\lambda = \mu$, the dilation is uniform and is called a homothety of ratio $\lambda$: in that case distances are multiplied uniformly by $\lambda$, angles are preserved and the figure turns out to be similar to the original.

Property — Effect on curves

The dilation $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y)$ transforms the equation $f(x,y)=0$ into $f\!\left(\tfrac{x}{\lambda},\ \tfrac{y}{\mu}\right)=0.$ As with translations, the inverse of the transformation is used in the substitutions.

In the simulation below you can explore the homothety with center $O$ and ratio $k$: for $k>1$ the figure enlarges, for $0<k<1$ it shrinks, for $k<0$ it enlarges and inverts through $O$, and lengths are multiplied by $|k|$.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Dilation · Homothety
Methods: Homothetic transformations
Skills: Analytic geometry

Una dilatazione applicata a una circonferenza produce un’ellisse: è il modo più naturale per “vedere” l’ellisse come una circonferenza deformata lungo i due assi.

Esempio

La circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ dilatata con $\lambda = 3,\ \mu = 2$ diventa $\left(\tfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = 1,\qquad\text{cioè}\qquad \tfrac{x^2}{9} + \tfrac{y^2}{4} = 1.$ Le ellissi si possono dunque pensare come dilatazioni di circonferenze.

La circonferenza unitaria $C$ e l’ellisse $E:\ \tfrac{x^2}{9}+\tfrac{y^2}{4}=1$ ottenuta dilatando i raggi di fattori $3$ (orizzontale) e $2$ (verticale).

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Circonferenza · Dilatazione · Ellisse
Metodi: Trasformazioni omotetie
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico

A dilation applied to a circle produces an ellipse: it is the most natural way to “see” the ellipse as a circle deformed along the two axes.

Example

The circle $x^2 + y^2 = 1$ dilated with $\lambda = 3,\ \mu = 2$ becomes $\left(\tfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = 1,\qquad\text{that is}\qquad \tfrac{x^2}{9} + \tfrac{y^2}{4} = 1.$ Ellipses can therefore be thought of as dilations of circles.

The unit circle $C$ and the ellipse $E:\ \tfrac{x^2}{9}+\tfrac{y^2}{4}=1$ obtained by dilating the radii by factors $3$ (horizontal) and $2$ (vertical).

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Topics: Plane transformations
Concepts: Circle · Dilation · Ellipse
Methods: Homothetic transformations
Skills: Analytic geometry · Sketching a graph