Definizione

L’iperbole si definisce come luogo geometrico a partire da due punti fissi, i fuochi: cambiando la somma con la differenza delle distanze rispetto all’ellisse si ottiene una curva completamente diversa. Da questa definizione, con lo stesso procedimento algebrico usato per l’ellisse, si ricava l’equazione canonica.

• Definizione di iperbole
• Equazione canonica

The hyperbola is defined as a locus starting from two fixed points, the foci: by changing the sum into the difference of the distances with respect to the ellipse one obtains a completely different curve. From this definition, with the same algebraic procedure used for the ellipse, one derives the canonical equation.

• Definition of the hyperbola
• Canonical equation

L’iperbole è la terza conica non degenere. La sua definizione ricalca quella dell’ellisse, ma con una differenza decisiva: invece della somma delle distanze dai due fuochi si considera la loro differenza (in valore assoluto).

Definizione — Iperbole

Un’iperbole è il luogo dei punti $P$ del piano tali che $\bigl| d(P,F_1) - d(P,F_2) \bigr| = 2a, \qquad 2a < d(F_1, F_2),$ con $F_1, F_2$ due punti fissi detti fuochi.

La condizione $2a < d(F_1, F_2)$ è l’opposto di quella dell’ellisse e garantisce che il luogo esista. Per la disuguaglianza triangolare, infatti, si ha sempre $\bigl| d(P,F_1) - d(P,F_2) \bigr| \le d(F_1, F_2),$ con uguaglianza solo per i punti della retta passante per $F_1$ e $F_2$: se richiedessimo una differenza maggiore o uguale a $d(F_1,F_2)$ non troveremmo alcun punto.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Disuguaglianza triangolare · Fuochi · Iperbole · Luogo geometrico
Funzioni: Iperbole

The hyperbola is the third non-degenerate conic. Its definition mirrors that of the ellipse, but with one decisive difference: instead of the sum of the distances from the two foci one considers their difference (in absolute value).

Definition — Hyperbola

A hyperbola is the locus of points $P$ in the plane such that $\bigl| d(P,F_1) - d(P,F_2) \bigr| = 2a, \qquad 2a < d(F_1, F_2),$ with $F_1, F_2$ two fixed points called foci.

The condition $2a < d(F_1, F_2)$ is the opposite of the one for the ellipse and guarantees that the locus exists. Indeed, by the triangle inequality one always has $\bigl| d(P,F_1) - d(P,F_2) \bigr| \le d(F_1, F_2),$ with equality only for the points on the line through $F_1$ and $F_2$: if we required a difference greater than or equal to $d(F_1,F_2)$ we would find no point at all.

Links

Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Triangle inequality · Foci · Hyperbola · Locus
Functions: Hyperbola

Collocando i fuochi simmetricamente rispetto all’origine sull’asse $x$, la definizione di iperbole si traduce in un’equazione particolarmente semplice, detta canonica.

Proprietà — Equazione canonica

Con $F_{1,2}(\mp c; 0)$, $c > a > 0$, l’iperbole ha forma canonica $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = c^2 - a^2.$

Si noti il segno meno al posto del più: è questo a distinguere l’equazione dell’iperbole da quella dell’ellisse. Il procedimento per ricavarla è analogo a quello dell’ellisse: si isola un radicale, si eleva al quadrato, si isola il radicale residuo e si eleva ancora al quadrato.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Equazione canonica · Iperbole
Funzioni: Iperbole
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica

By placing the foci symmetrically with respect to the origin on the $x$-axis, the definition of the hyperbola translates into a particularly simple equation, called the canonical one.

Property — Canonical equation

With $F_{1,2}(\mp c; 0)$, $c > a > 0$, the hyperbola has canonical form $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = c^2 - a^2.$

Note the minus sign in place of the plus: it is this that distinguishes the equation of the hyperbola from that of the ellipse. The procedure to derive it is analogous to the one for the ellipse: one isolates a radical, squares, isolates the remaining radical and squares again.

Links

Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Canonical equation · Hyperbola
Functions: Hyperbola
Methods: Canonical hyperbola
Skills: Analytic geometry