Luoghi geometrici nel piano cartesiano

Molti problemi di geometria analitica chiedono di trovare l’equazione di una curva a partire da una proprietà che ne caratterizza i punti: quali sono i punti equidistanti dagli estremi di un segmento? Quelli equidistanti da un punto e da una retta? Quelli che distano una quantità fissata da un centro? Le risposte — l’asse del segmento, la parabola, la circonferenza — sono curve note, ma in questo capitolo le ricaviamo dalla loro definizione di luogo. Il metodo è sempre lo stesso: si prende un punto generico $P(x;y)$, si traduce la proprietà in un’uguaglianza tra distanze, si elevano al quadrato i termini con radice (lecito, perché le distanze sono $\ge 0$) e si semplifica fino a un’equazione in $x$ e $y$. Alla fine vediamo come parabola, ellisse, iperbole e circonferenza siano tutte istanze di un unico schema fondato sulle distanze.

Sezioni

• Luogo geometrico
• La bisettrice di un angolo
• L’asse di un segmento
• La parabola come luogo geometrico
• Definizione unificante delle coniche

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

Many problems in coordinate geometry ask us to find the equation of a curve starting from a property that characterises its points: which are the points equidistant from the endpoints of a segment? Those equidistant from a point and a line? Those at a fixed distance from a centre? The answers — the perpendicular bisector of the segment, the parabola, the circle — are familiar curves, but in this chapter we derive them from their locus definition. The method is always the same: take a generic point $P(x;y)$, translate the property into an equality between distances, square the terms containing a root (allowed, since distances are $\ge 0$) and simplify down to an equation in $x$ and $y$. At the end we see how the parabola, the ellipse, the hyperbola and the circle are all instances of a single scheme founded on distances.

Sections

• Locus
• The bisector of an angle
• The perpendicular bisector of a segment
• The parabola as a locus
• A unifying definition of the conics

Exercises

• All the chapter’s exercises

Molti problemi di geometria analitica chiedono di trovare l’equazione di una curva a partire da una proprietà che ne caratterizza i punti. Per esempio: quali sono tutti i punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi di un segmento? Quelli che hanno uguale distanza da un punto e da una retta? Quelli che distano una quantità fissata da un centro?

Le risposte — l’asse del segmento, la parabola, la circonferenza — sono curve note, ma è istruttivo ricavarle dalla loro definizione di luogo.

Definizione — Luogo geometrico

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà. L’equazione del luogo è l’equazione in $x,y$ che i punti del luogo soddisfano e che nessun altro punto del piano soddisfa.

Il metodo per ricavarne l’equazione è sempre lo stesso:

1. si prende un punto generico $P(x;y)$;
2. si traduce la proprietà in un’uguaglianza tra distanze;
3. si elevano al quadrato i termini con radice (sempre lecito, perché le distanze sono $\ge 0$);
4. si semplifica fino a ottenere un’equazione in $x$ e $y$.

Storia — Tradurre la geometria in equazioni

L’idea di associare a una curva un’equazione tra coordinate nasce quasi contemporaneamente, e indipendentemente, con due matematici francesi. René Descartes (Cartesio) la espone nella Géométrie, appendice del Discours de la méthode (1637), dove mostra come un problema geometrico si possa tradurre in un’equazione tra due segmenti variabili $x$ e $y$ (Boyer). Negli stessi anni Pierre de Fermat, nella Ad locos planos et solidos isagoge, era giunto per altra via allo stesso principio, studiando proprio i luoghi come equazioni tra due incognite (Katz). Da allora ricavare l’equazione di un luogo dalla sua proprietà, come facciamo qui, è il cuore della geometria analitica (Kline).

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Distanza tra punti · Luogo geometrico · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Geometria analitica
Persone: René Descartes (Cartesio) · Pierre de Fermat

Many problems in coordinate geometry ask us to find the equation of a curve starting from a property that characterises its points. For example: which are all the points of the plane that are equidistant from the two endpoints of a segment? Those equidistant from a point and a line? Those at a fixed distance from a centre?

The answers — the perpendicular bisector of the segment, the parabola, the circle — are familiar curves, but it is instructive to derive them from their locus definition.

Definition — Locus

A locus is the set of all and only the points of the plane that enjoy a given property. The equation of the locus is the equation in $x,y$ that the points of the locus satisfy and that no other point of the plane satisfies.

The method for deriving its equation is always the same:

1. take a generic point $P(x;y)$;
2. translate the property into an equality between distances;
3. square the terms containing a root (always allowed, since distances are $\ge 0$);
4. simplify until an equation in $x$ and $y$ is obtained.

History — Translating geometry into equations

The idea of attaching an equation between coordinates to a curve arose almost simultaneously, and independently, with two French mathematicians. René Descartes set it out in the Géométrie, an appendix to the Discours de la méthode (1637), where he showed how a geometric problem can be translated into an equation between two variable segments $x$ and $y$ (Boyer). In the same years Pierre de Fermat, in his Ad locos planos et solidos isagoge, had reached the same principle by a different route, studying precisely loci as equations between two unknowns (Katz). Ever since, deriving the equation of a locus from its property, as we do here, has been the heart of analytic geometry (Kline).

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Topics: Geometric loci
Concepts: Point-line distance · Distance between points · Locus · Cartesian plane · Line
Skills: Analytical geometry

Il capitolo che stiamo studiando è nato in Francia negli anni Trenta del Seicento, con un’idea tanto semplice quanto rivoluzionaria: una curva del piano si può descrivere con un’equazione tra due coordinate. Prima di allora, dai tempi di Euclide e Apollonio, la geometria era fatta di costruzioni con riga e compasso e di proporzioni tra segmenti; l’algebra, allora giovane, viveva separata. Riunirle significò poter calcolare la geometria.

Cartesio e la Géométrie (1637)

René Descartes — italianizzato in Cartesio — pubblicò La Géométrie come una delle tre appendici del suo Discours de la méthode (1637). In quell’opera egli mostra come, fissato un segmento di riferimento e una direzione, ogni punto di una curva possa essere individuato da due lunghezze variabili, che oggi chiamiamo $x$ e $y$; a un problema geometrico corrisponde allora un’equazione tra $x$ e $y$, e viceversa (Boyer). Non è ancora il nostro sistema di due assi ortogonali con le coordinate negative — quello si affermerà più tardi — ma il principio è esattamente quello che usiamo per ricavare l’equazione di un luogo: si prende un punto generico $P(x;y)$ e si traduce in algebra la proprietà che lo caratterizza.

Fermat e i luoghi

Quasi negli stessi anni, e in modo del tutto indipendente, Pierre de Fermat era arrivato alla stessa idea nella sua Ad locos planos et solidos isagoge (Introduzione ai luoghi piani e solidi), circolata come manoscritto prima della Géométrie di Cartesio. Fermat parte proprio dal concetto di luogo — l’oggetto di questo capitolo — e stabilisce che «ogni volta che due quantità incognite compaiono in un’equazione, si ha un luogo, e l’estremità di una di esse descrive una linea» (Katz). Egli riconobbe che le equazioni di primo grado danno rette e quelle di secondo grado le coniche, classificando in questo modo curve come la parabola e l’ellisse che noi ritroviamo, più avanti, sotto la definizione unificante.

Le due opere hanno stili diversi — Cartesio parte dai problemi da costruire, Fermat dalle equazioni da interpretare — ma insieme fondano quella che oggi chiamiamo geometria analitica, il ponte tra algebra e geometria che rende possibile tutto il piano cartesiano (Kline).

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Luogo geometrico · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica
Persone: René Descartes (Cartesio) · Pierre de Fermat

The chapter we are studying was born in France in the 1630s, out of an idea as simple as it was revolutionary: a curve of the plane can be described by an equation between two coordinates. Before then, ever since Euclid and Apollonius, geometry had consisted of straightedge-and-compass constructions and proportions between segments; algebra, still young, lived apart. Bringing them together meant one could now compute geometry.

Descartes and the Géométrie (1637)

René Descartes published La Géométrie as one of the three appendices to his Discours de la méthode (1637). In that work he shows how, once a reference segment and a direction are fixed, every point of a curve can be located by two variable lengths, which today we call $x$ and $y$; a geometric problem then corresponds to an equation between $x$ and $y$, and vice versa (Boyer). This is not yet our system of two orthogonal axes with negative coordinates — that would come later — but the principle is exactly the one we use to derive the equation of a locus: take a generic point $P(x;y)$ and translate into algebra the property that characterises it.

Fermat and loci

At almost the same time, and quite independently, Pierre de Fermat had arrived at the same idea in his Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci), which circulated as a manuscript before Descartes’ Géométrie. Fermat starts precisely from the notion of locus — the subject of this chapter — and establishes that “whenever two unknown quantities appear in an equation, there is a locus, and the endpoint of one of them describes a line” (Katz). He recognised that first-degree equations give straight lines and second-degree ones give the conics, thereby classifying curves such as the parabola and the ellipse that we meet again, later, under the unifying definition.

The two works differ in style — Descartes starts from problems to be constructed, Fermat from equations to be interpreted — but together they found what we now call analytic geometry, the bridge between algebra and geometry that makes the whole Cartesian plane possible (Kline).

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Topics: Geometric loci Concepts: Locus · Cartesian plane Skills: Analytical geometry People: René Descartes (Cartesio) · Pierre de Fermat

Le definizioni di parabola, ellisse e iperbole come luogo geometrico non sono isolate: tutte e tre sono istanze di un unico schema. Anticipiamo brevemente.

• Parabola: punti con $d(P,F) = d(P,d)$ (un fuoco, una direttrice).
• Ellisse: punti con $d(P,F_1) + d(P,F_2) = \text{costante}$ (due fuochi, somma costante).
• Iperbole: punti con $\bigl|d(P,F_1) - d(P,F_2)\bigr| = \text{costante}$ (due fuochi, differenza in valore assoluto costante).
• Circonferenza: punti con $d(P,C) = R$ (un centro, distanza costante). È in realtà un caso limite di ellisse con $F_1 = F_2 = C$.

Il filo rosso: tutte le coniche sono definite da distanze. È per questo che il loro studio analitico passa sempre per la formula $\sqrt{\cdots}$ e per l’elevamento al quadrato — e per questo motivo il capitolo sulle disequazioni irrazionali era così importante.

Nella simulazione seguente l’equazione generale di secondo grado $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ diventa qualunque conica al variare dei sei coefficienti, e il discriminante $\Delta = B^2-4AC$ la classifica: $\Delta<0$ ellisse, $\Delta=0$ parabola, $\Delta>0$ iperbole.

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Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Circonferenza · Conica · Distanza tra punti · Ellisse · Fuoco · Iperbole · Parabola · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica

The definitions of parabola, ellipse and hyperbola as loci are not isolated: all three are instances of a single scheme. Let us anticipate briefly.

• Parabola: points with $d(P,F) = d(P,d)$ (one focus, one directrix).
• Ellipse: points with $d(P,F_1) + d(P,F_2) = \text{costante}$ (two foci, constant sum).
• Hyperbola: points with $\bigl|d(P,F_1) - d(P,F_2)\bigr| = \text{costante}$ (two foci, constant difference in absolute value).
• Circle: points with $d(P,C) = R$ (one centre, constant distance). It is in fact a limiting case of an ellipse with $F_1 = F_2 = C$.

The common thread: all conics are defined by distances. This is why their analytical study always passes through the formula $\sqrt{\cdots}$ and through squaring — and this is why the chapter on irrational inequalities was so important.

In the following simulation the general second-degree equation $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ becomes any conic as the six coefficients vary, and the discriminant $\Delta = B^2-4AC$ classifies it: $\Delta<0$ ellipse, $\Delta=0$ parabola, $\Delta>0$ hyperbola.

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Topics: Geometric loci
Concepts: Circle · Conic · Distance between points · Ellipse · Focus · Hyperbola · Parabola · Cartesian plane
Skills: Analytical geometry