Trasformazioni nel piano cartesiano

Una trasformazione del piano è una funzione $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ che a ogni punto $P(x;y)$ associa un nuovo punto $P'(x';y')$. In questo capitolo studiamo le trasformazioni “classiche”, quelle che lasciano invariato qualcosa di geometricamente significativo: le isometrie (traslazioni, simmetrie assiali e centrali, rotazioni), che conservano le distanze, e le dilatazioni (con il caso particolare dell’omotetia), che le moltiplicano per un fattore fisso. Vedremo come ciascuna trasformazione agisce sui punti e come modifica l’equazione di una curva, e impareremo a comporre più trasformazioni per riconoscere, ad esempio, un’ellisse come una circonferenza prima dilatata e poi traslata.

Le trasformazioni hanno una doppia anima: le si può pensare come “muovere i punti” (cambia il punto, restano fissi gli assi) oppure come “muovere gli assi” (cambia il sistema di riferimento, restano fissi i punti). Le due visioni sono equivalenti a meno di un cambio di segno nei parametri. Qui adottiamo la prima, quella “attiva”.

Sezioni

• Isometrie
• Dilatazioni e omotetie
• Composizione di trasformazioni

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

A transformation of the plane is a function $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ that associates to each point $P(x;y)$ a new point $P'(x';y')$. In this chapter we study the “classical” transformations, those that leave something geometrically significant invariant: the isometries (translations, axial and central symmetries, rotations), which preserve distances, and the dilatations (with the special case of the homothety), which multiply them by a fixed factor. We shall see how each transformation acts on the points and how it modifies the equation of a curve, and we shall learn to compose several transformations so as to recognise, for example, an ellipse as a circle first dilated and then translated.

Transformations have a dual nature: they can be thought of as “moving the points” (the point changes, the axes stay fixed) or as “moving the axes” (the reference frame changes, the points stay fixed). The two viewpoints are equivalent up to a change of sign in the parameters. Here we adopt the first, the “active” one.

Sections

• Isometries
• Dilatations and homotheties
• Composition of transformations

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Le trasformazioni si possono comporre: prima se ne applica una, poi si applica l’altra al risultato. In generale la composizione non è commutativa ($T_1\circ T_2 \ne T_2\circ T_1$). Un caso importante: una traslazione seguita da una dilatazione non dà lo stesso risultato di una dilatazione seguita da una traslazione.

Esempio — Riconoscere un'ellisse traslata come trasformazione di una circonferenza

L’ellisse $\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1$ si ottiene dalla circonferenza unitaria $x^2 + y^2 = 1$ applicando prima la dilatazione $(x;y)\mapsto(3x;2y)$, poi la traslazione $(x;y)\mapsto(x+2;\ y+1)$. Questa è la ragione per cui il riconoscimento delle coniche passa sempre per completamento del quadrato (una traslazione) seguito da normalizzazione dei coefficienti (una dilatazione).

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Circonferenza · Composizione di trasformazioni · Dilatazione · Ellisse · Traslazione
Metodi: Trasformazioni isometrie · Trasformazioni omotetie
Competenze: Geometria analitica

Transformations can be composed: first one is applied, then the other is applied to the result. In general the composition is not commutative ($T_1\circ T_2 \ne T_2\circ T_1$). An important case: a translation followed by a dilation does not give the same result as a dilation followed by a translation.

Example — Recognising a translated ellipse as a transformation of a circle

The ellipse $\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1$ is obtained from the unit circle $x^2 + y^2 = 1$ by first applying the dilation $(x;y)\mapsto(3x;2y)$, then the translation $(x;y)\mapsto(x+2;\ y+1)$. This is the reason why recognising conics always goes through completing the square (a translation) followed by normalising the coefficients (a dilation).

Links

Topics: Plane transformations
Concepts: Circle · Composition of transformations · Dilation · Ellipse · Translation
Methods: Isometric transformations · Homothetic transformations
Skills: Analytic geometry