Isometrie

Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze: spostano le figure senza deformarle. Appartengono a questa famiglia le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Per ciascuna vedremo le formule che agiscono sui punti e la regola per trasformare l’equazione di una curva.

• Isometrie
• Traslazioni
• Simmetrie assiali
• Simmetrie centrali
• Rotazioni

Isometries are the plane transformations that preserve distances: they move figures without deforming them. This family includes translations, axial symmetries, central symmetries and rotations. For each one we shall see the formulae that act on the points and the rule for transforming the equation of a curve.

• Isometries
• Translations
• Axial symmetries
• Central symmetries
• Rotations

Una trasformazione del piano è una funzione $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ che a ogni punto $P(x;y)$ associa un nuovo punto $P'(x';y')$. Tra tutte le trasformazioni possibili, le più importanti sono quelle che conservano le distanze.

Definizione — Isometria

Un’isometria è una trasformazione del piano che conserva le distanze: per ogni coppia di punti $P, Q$ si ha $d\bigl(T(P), T(Q)\bigr) = d(P, Q).$ In particolare, un’isometria conserva anche gli angoli e le aree.

Sono isometrie le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni: spostano o “ribaltano” le figure senza cambiarne forma e dimensioni. La figura seguente mostra la stessa figura campione (una “F” stilizzata) dopo tre diverse isometrie.

Storia — La geometria come studio degli invarianti

Che cosa “è” una figura geometrica? Nel 1872 il ventitreenne Felix Klein, nella prolusione inaugurale a Erlangen, propose una risposta rivoluzionaria: una geometria è lo studio delle proprietà che restano invariate quando si applica un gruppo di trasformazioni. La geometria delle isometrie studia gli invarianti rispetto al gruppo dei movimenti rigidi — e distanza, ampiezza degli angoli e area sono esattamente le grandezze che una isometria conserva (Boyer). L’idea, ispirata dagli studi sui gruppi di Sophus Lie, riordinò in un colpo solo tutte le geometrie allora conosciute (Kline).

La stessa figura campione dopo tre diverse isometrie: a sinistra l’originale, al centro una traslazione, a destra una simmetria rispetto all’asse $y$. Le forme e le dimensioni non cambiano; cambia solo la posizione.

Prova tu: nella simulazione seguente trascina i cursori per comporre una rotazione e una traslazione e osserva come l’immagine conserva forma e dimensioni dell’originale.

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Isometria · Trasformazione del piano
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica
Persone: Felix Klein · Sophus Lie

A plane transformation is a function $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ that associates with each point $P(x;y)$ a new point $P'(x';y')$. Among all the possible transformations, the most important are those that preserve distances.

Definition — Isometry

An isometry is a plane transformation that preserves distances: for every pair of points $P, Q$ we have $d\bigl(T(P), T(Q)\bigr) = d(P, Q).$ In particular, an isometry also preserves angles and areas.

Translations, axial symmetries, central symmetries and rotations are isometries: they move or “flip” figures without changing their shape and size. The following figure shows the same sample figure (a stylised “F”) after three different isometries.

History — Geometry as the study of invariants

What “is” a geometric figure? In 1872 the twenty-three-year-old Felix Klein, in his inaugural address at Erlangen, proposed a revolutionary answer: a geometry is the study of the properties that stay unchanged when a group of transformations is applied. The geometry of isometries studies the invariants under the group of rigid motions — and distance, angle measure and area are exactly the quantities that an isometry preserves (Boyer). The idea, inspired by Sophus Lie’s work on groups, reorganised all the geometries then known in a single stroke (Kline).

The same sample figure after three different isometries: on the left the original, in the centre a translation, on the right a symmetry with respect to the $y$-axis. The shapes and sizes do not change; only the position changes.

Try it yourself: in the following simulation drag the sliders to compose a rotation and a translation, and observe how the image keeps the shape and size of the original.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Isometry · Plane transformation
Methods: Isometric transformations
Skills: Analytic geometry

La traslazione è l’isometria che sposta ogni punto del piano di una stessa quantità e in una stessa direzione, descritte da un vettore.

Definizione — Traslazione

Dato un vettore $\vec{v} = (a;b)$, la traslazione di vettore $\vec{v}$ è la trasformazione $T_{\vec{v}}:\ (x;y) \mapsto (x';y') = (x + a;\ y + b).$

Proprietà — Effetto sulle curve

Data una curva di equazione $f(x,y) = 0$, l’equazione della curva traslata di vettore $(a;b)$ si ottiene sostituendo $x$ con $x-a$ e $y$ con $y-b$ nell’equazione originale: $f(x-a,\ y-b) = 0.$ Il “meno” è controintuitivo ma corretto: se trasliamo ogni punto della curva verso destra di $a$, un nuovo punto $(x';y')$ appartiene alla curva traslata se e solo se il suo “antenato” $(x'-a;\ y'-b)$ appartiene alla curva originale.

Esempio

La parabola $y = x^2$ traslata di $(+3;-1)$ diventa $y + 1 = (x-3)^2$, cioè $y = (x-3)^2 - 1 = x^2 - 6x + 8.$ Il vertice da $(0;0)$ si sposta in $(3;-1)$, come previsto.

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Parabola · Traslazione · Vettore
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico

The translation is the isometry that moves every point of the plane by the same amount and in the same direction, described by a vector.

Definition — Translation

Given a vector $\vec{v} = (a;b)$, the translation by vector $\vec{v}$ is the transformation $T_{\vec{v}}:\ (x;y) \mapsto (x';y') = (x + a;\ y + b).$

Property — Effect on curves

Given a curve of equation $f(x,y) = 0$, the equation of the curve translated by vector $(a;b)$ is obtained by replacing $x$ with $x-a$ and $y$ with $y-b$ in the original equation: $f(x-a,\ y-b) = 0.$ The “minus” is counterintuitive but correct: if we translate every point of the curve to the right by $a$, a new point $(x';y')$ belongs to the translated curve if and only if its “ancestor” $(x'-a;\ y'-b)$ belongs to the original curve.

Example

The parabola $y = x^2$ translated by $(+3;-1)$ becomes $y + 1 = (x-3)^2$, that is $y = (x-3)^2 - 1 = x^2 - 6x + 8.$ The vertex moves from $(0;0)$ to $(3;-1)$, as expected.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Parabola · Translation · Vector
Methods: Isometric transformations
Skills: Analytic geometry · Sketching a graph

La simmetria assiale “ribalta” il piano rispetto a una retta, come una riflessione allo specchio.

Definizione — Simmetria assiale

Data una retta $r$ (l’asse), la simmetria assiale rispetto a $r$ è la trasformazione che a ogni punto $P$ associa il suo simmetrico $P'$ rispetto a $r$, cioè il punto tale che $r$ è l’asse del segmento $PP'$.

Proprietà — Casi notevoli

• Simmetria rispetto all’asse $x$: $(x;y)\mapsto(x;-y)$. L’equazione $f(x,y)=0$ diventa $f(x,-y)=0$.
• Simmetria rispetto all’asse $y$: $(x;y)\mapsto(-x;y)$, cioè $f(x,y)\mapsto f(-x,y)$.
• Simmetria rispetto alla retta orizzontale $y=k$: $(x;y)\mapsto(x;\ 2k-y)$.
• Simmetria rispetto alla retta verticale $x=h$: $(x;y)\mapsto(2h-x;\ y)$.
• Simmetria rispetto alla bisettrice $y=x$: $(x;y)\mapsto(y;x)$ — questa è la simmetria che trasforma una funzione nella sua inversa.

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Simmetria assiale
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica

Axial symmetry “flips” the plane with respect to a line, like a mirror reflection.

Definition — Axial symmetry

Given a line $r$ (the axis), the axial symmetry with respect to $r$ is the transformation that associates with each point $P$ its symmetric point $P'$ with respect to $r$, that is, the point such that $r$ is the perpendicular bisector of the segment $PP'$.

Property — Notable cases

• Symmetry with respect to the $x$-axis: $(x;y)\mapsto(x;-y)$. The equation $f(x,y)=0$ becomes $f(x,-y)=0$.
• Symmetry with respect to the $y$-axis: $(x;y)\mapsto(-x;y)$, that is $f(x,y)\mapsto f(-x,y)$.
• Symmetry with respect to the horizontal line $y=k$: $(x;y)\mapsto(x;\ 2k-y)$.
• Symmetry with respect to the vertical line $x=h$: $(x;y)\mapsto(2h-x;\ y)$.
• Symmetry with respect to the bisector $y=x$: $(x;y)\mapsto(y;x)$ — this is the symmetry that turns a function into its inverse.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Axial symmetry
Methods: Isometric transformations
Skills: Analytic geometry

La simmetria centrale è la trasformazione che “capovolge” il piano rispetto a un punto fisso, il centro.

Definizione — Simmetria centrale

Dato un punto $C(x_C;y_C)$, la simmetria centrale di centro $C$ è la trasformazione $(x;y)\mapsto(2x_C - x;\ 2y_C - y).$ In particolare, la simmetria centrale rispetto all’origine è $(x;y)\mapsto(-x;-y)$.

Osservazione — Simmetria centrale = due simmetrie assiali

Una simmetria centrale di centro $C$ è equivalente alla composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette perpendicolari passanti per $C$. In particolare, la simmetria rispetto all’origine è la composizione della simmetria rispetto all’asse $x$ e di quella rispetto all’asse $y$.

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Simmetria assiale · Simmetria centrale
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica

Central symmetry is the transformation that “turns over” the plane with respect to a fixed point, the centre.

Definition — Central symmetry

Given a point $C(x_C;y_C)$, the central symmetry with centre $C$ is the transformation $(x;y)\mapsto(2x_C - x;\ 2y_C - y).$ In particular, the central symmetry with respect to the origin is $(x;y)\mapsto(-x;-y)$.

Remark — Central symmetry = two axial symmetries

A central symmetry with centre $C$ is equivalent to the composition of two axial symmetries with respect to two perpendicular lines through $C$. In particular, the symmetry with respect to the origin is the composition of the symmetry with respect to the $x$-axis and that with respect to the $y$-axis.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Axial symmetry · Central symmetry
Methods: Isometric transformations
Skills: Analytic geometry

La rotazione fa “girare” il piano attorno a un punto fisso di un angolo assegnato. Consideriamo il caso in cui il centro è l’origine.

Definizione — Rotazione di centro l'origine

Data una rotazione di centro l’origine e angolo $\theta$, le formule sono: $(x;y)\mapsto(x';y') = (x\cos\theta - y\sin\theta;\ x\sin\theta + y\cos\theta).$ Per $\theta = 90°$ (antiorario): $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Per $\theta = 180°$: $(x;y)\mapsto(-x;-y)$, che è la simmetria centrale rispetto all’origine.

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Rotazione · Simmetria centrale
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica

A rotation makes the plane “turn” about a fixed point by a given angle. We consider the case in which the centre is the origin.

Definition — Rotation about the origin

Given a rotation about the origin by an angle $\theta$, the formulae are: $(x;y)\mapsto(x';y') = (x\cos\theta - y\sin\theta;\ x\sin\theta + y\cos\theta).$ For $\theta = 90°$ (anticlockwise): $(x;y)\mapsto(-y;x)$. For $\theta = 180°$: $(x;y)\mapsto(-x;-y)$, which is the central symmetry with respect to the origin.

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Topics: Plane transformations
Concepts: Rotation · Central symmetry
Methods: Isometric transformations
Skills: Analytic geometry

Fino alla metà dell’Ottocento la parola “geometria” al singolare sembrava non avere più senso: accanto alla geometria di Euclide erano nate la geometria proiettiva, quella affine, le geometrie non euclidee. Ciascuna aveva i suoi teoremi e le sue regole, e non era chiaro che cosa le tenesse insieme. La risposta arrivò nel 1872, quando il ventitreenne Felix Klein, assumendo la cattedra all’Università di Erlangen, presentò un breve scritto programmatico passato alla storia come programma di Erlangen (in tedesco Erlanger Programm).

L’idea centrale: geometria = invarianti di un gruppo

L’intuizione di Klein è che una geometria non sia definita dagli oggetti che studia, ma dalle trasformazioni che è disposta a considerare “innocue”. Fissato un insieme di trasformazioni del piano che sia chiuso rispetto alla composizione e all’inversa — cioè un gruppo — la geometria corrispondente studia soltanto quelle proprietà delle figure che restano invariate sotto tutte le trasformazioni del gruppo (Boyer). Cambiando il gruppo, cambia la geometria.

Le isometrie che studi in questo capitolo sono l’esempio più semplice. Traslazioni, rotazioni, simmetrie e le loro composizioni formano un gruppo: componendo due isometrie se ne ottiene un’altra, ogni isometria ha un’inversa (a sua volta un’isometria), e la trasformazione identica $(x;y)\mapsto(x;y)$ fa da elemento neutro. Gli invarianti di questo gruppo sono la distanza tra due punti, l’ampiezza degli angoli e l’area: è la geometria “metrica”, quella in cui due figure sono considerate uguali quando sono congruenti.

Una gerarchia di geometrie

Allargando il gruppo, si conserva di meno e la geometria diventa più “grossolana”:

• Isometrie — si conservano distanze, angoli e aree (figure congruenti);
• Similitudini — si aggiungono le dilatazioni uniformi: le distanze non si conservano più, ma si conservano i rapporti tra distanze e gli angoli (figure simili);
• Affinità — si conservano il parallelismo e i rapporti tra segmenti su una stessa retta, ma non gli angoli: una circonferenza e un’ellisse diventano “la stessa figura”;
• Proiettività — si conserva ancora meno (l’invariante caratteristico è il birapporto di quattro punti allineati); è la geometria dell’ombra e della prospettiva.

Ogni gruppo è contenuto in quello successivo, e più il gruppo è ampio meno sono le proprietà invarianti: si passa così, in modo ordinato, da una geometria all’altra.

L’eredità

Il programma di Erlangen nacque dal dialogo di Klein con il matematico norvegese Sophus Lie, con cui aveva studiato la teoria dei gruppi continui (Kline). Quell’idea — descrivere una struttura attraverso il gruppo delle trasformazioni che la lasciano invariata — è diventata uno dei fili conduttori della matematica e della fisica moderne: la ritroviamo nella teoria della relatività, dove le leggi fisiche devono restare invariate rispetto a un preciso gruppo di trasformazioni, e più in generale ogni volta che una simmetria diventa uno strumento di indagine (Katz).

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Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Composizione di trasformazioni · Isometria · Trasformazione del piano
Persone: Felix Klein · Sophus Lie

Until the middle of the nineteenth century the word “geometry” in the singular seemed to have lost its meaning: alongside Euclid’s geometry, projective geometry, affine geometry and the non-Euclidean geometries had all been born. Each had its own theorems and its own rules, and it was not clear what held them together. The answer came in 1872, when the twenty-three-year-old Felix Klein, on taking up his chair at the University of Erlangen, presented a short programmatic text that went down in history as the Erlangen program (in German Erlanger Programm).

The central idea: geometry = invariants of a group

Klein’s insight is that a geometry is defined not by the objects it studies, but by the transformations it is willing to treat as “harmless”. Once we fix a set of plane transformations that is closed under composition and inverse — that is, a group — the corresponding geometry studies only those properties of figures that stay unchanged under all the transformations of the group (Boyer). Change the group and you change the geometry.

The isometries you study in this chapter are the simplest example. Translations, rotations, symmetries and their compositions form a group: composing two isometries gives another one, every isometry has an inverse (itself an isometry), and the identity transformation $(x;y)\mapsto(x;y)$ plays the role of neutral element. The invariants of this group are the distance between two points, the measure of angles and the area: this is “metric” geometry, the one in which two figures are considered equal when they are congruent.

A hierarchy of geometries

Enlarging the group, less is preserved and the geometry becomes “coarser”:

• Isometries — distances, angles and areas are preserved (congruent figures);
• Similarities — uniform dilations are added: distances are no longer preserved, but the ratios of distances and the angles are (similar figures);
• Affinities — parallelism and ratios of segments on the same line are preserved, but not angles: a circle and an ellipse become “the same figure”;
• Projectivities — even less is preserved (the characteristic invariant is the cross-ratio of four collinear points); this is the geometry of shadows and perspective.

Each group is contained in the next, and the larger the group the fewer the invariant properties: in this way one passes, in an orderly fashion, from one geometry to another.

The legacy

The Erlangen program grew out of Klein’s dialogue with the Norwegian mathematician Sophus Lie, with whom he had studied the theory of continuous groups (Kline). That idea — describing a structure through the group of transformations that leave it unchanged — has become one of the guiding threads of modern mathematics and physics: we find it again in the theory of relativity, where the physical laws must stay invariant under a precise group of transformations, and more generally whenever a symmetry becomes a tool of investigation (Katz).

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Topics: Plane transformations Concepts: Plane transformation · Isometry · Composition of transformations People: Felix Klein · Sophus Lie