Competenza — Risolvere equazioni.
Presente nei capitoli
02·03·04·05·08·09·10·12·13·14·15·16·18·19·20·21·23·25·26·27·28·30·31·35·36·38·41·42·44·46
Atomi collegati
297 atomi collegati.
02 Calcolo letterale
03 Frazioni algebriche
04 Percentuali
- Capitale dall’interesse semplice
- Il margine del commerciante
- Prezzo di listino dallo scontato
- Prezzo iniziale con due variazioni
05 Equazioni di primo grado
- Aumento percentuale
- Cassa di mattoni
- Che cos’è un’equazione
- Cinque interi consecutivi
- Cinque più il reciproco
- Dal problema all’equazione
- Discussione di un’equazione parametrica
- Equazione fratta
- Equazione fratta con parametro
- Equazioni fratte
- Equazioni letterali e parametri
- Esempio — equazione con frazioni
- Età di Marco e Lia
- Età fra sei anni
- Ginocchiere e divise
- Inseguimento di due treni
- Io e mio zio
- L’enigma di Diofanto
- Miscela di caffè
- Numero pensato
- Primo principio di equivalenza
- Ripartizione proporzionale
- Secondo principio di equivalenza
- Vasche e rubinetti
08 Fondamenti di geometria euclidea
09 Metodo di lavoro — come risolvere un problema
10 Equazioni di secondo grado e fratte
- ‘Equazioni fratte: due esercizi’
- Cardano dopo la forma depressa
- Cardano in azione
- Che cos’è una frazione continua
- Due equazioni di secondo grado con la formula
- Due numeri con differenza e prodotto assegnati
- Due numeri con somma e prodotto assegnati
- Due numeri con somma e prodotto assegnati (II)
- Due numeri di somma e prodotto assegnati
- Equazione biquadratica
- Equazione di secondo grado con la formula risolutiva
- Equazione di secondo grado per scomposizione
- 2 = x − 3
- Equazione fratta che si riduce al secondo grado
- Equazione fratta con denominatori scomponibili
- Equazione fratta con radici intere
- Equazione fratta con soluzione da scartare
- Equazione fratta con soluzione da scartare
- Equazione fratta con soluzioni 0 e 3
- Equazione fratta con termine noto
- Equazione fratta riconducibile al secondo grado
- Equazione fratta ridotta al secondo grado
- Equazione fratta riducibile al secondo grado
- Equazione fratta senza soluzioni reali
- Equazioni di secondo grado a coefficienti irrazionali
- Equazioni fratte con condizioni di esistenza
- Formula risolutiva
- Il numero aureo
- Incasso della bancarella
- Inventare equazioni di secondo grado con radici assegnate
- La forma depressa
- La formula risolutiva e il discriminante
- La frazione continua di radice di 2
- Prezzo di guadagno ottimale per automobili di lusso
- Quadratica in forma di prodotto
- Quadratica per scomposizione
- Radicale annidato con somme
- Ripasso: equazioni fratte
- Risolvere completando il quadrato
- Sezione aurea di un segmento
- Somma e prodotto delle radici
- Una cubica completa
- Verifica di una radice della cubica
12 La parabola
- Determinare l’equazione di una parabola e di una retta
- Distanze e intersezioni tra retta e parabola
- Due parabole dal grafico ed espressione differenza
- Due parabole: equazioni, intersezioni e parabola differenza
- Due parabole: vertici, intersezioni e distanza tra i vertici
- Equazione con due moduli (|2x-1| = |x+3|)
- Equazione di una parabola dai suoi elementi e parabola con minimo
- Equazioni con valore assoluto
- Equazioni e disequazioni con valori assoluti
- Intersezione retta-parabola e appartenenza di un punto
- Parabola come prodotto di due rette
- Parabola dalla forma canonica
- Parabola di vertice dato tangente a una retta
- Parabola e intersezione con una retta
- Parabola e retta, intersezioni e posizione reciproca
- Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (I)
- Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (II)
- Parabola: vertice e intersezioni con gli assi
- Parabola: vertice, intersezioni e distanza da un punto
- Problema del georettangolo: area come parabola
- Punti di una parabola a distanza fissata da una retta
- Retta tangente alla parabola
- Rettangolo di perimetro dato: area massima
- Rette tangenti a una parabola da un punto esterno
- Riconoscere parabola e retta dal grafico e loro intersezioni
- Vertice e intersezioni con gli assi
- Vertice, zeri e intercetta di una parabola
13 Radicali ed equazioni irrazionali
- Che cos’è un’equazione irrazionale
- Due equazioni irrazionali
- Equazione irrazionale con quadrato
- Equazione lineare nella radice
- Esempi di equazioni irrazionali risolte
- Il metodo di risoluzione
14 Equivalenza e teorema di Pitagora
- Cateti con i teoremi di Pitagora ed Euclide
- Cateti da altezza e rapporto tra i cateti
- Cateto e altezza frazione dell’ipotenusa
- Ipotenusa, altezza e proiezioni dei cateti
- Lati del triangolo da una proiezione e area di un quadrato
- Somma dei quadrati delle distanze da un punto sulla diagonale
- Teorema della mediana e calcolo di una mediana
15 Similitudine
- Corda parallela a un lato e triangolo simile
- Lati del triangolo dalla bisettrice
- Segmenti staccati dalla bisettrice sul lato opposto
16 Circonferenza
- Area di una corona circolare
- Cerchio inscritto in un rombo
- Circonferenza dalla potenza di un punto interno
- Corda che interseca un diametro
- Corde che si intersecano
- Problema — Corda minima per un punto interno
- Raggio da angolo al centro e lunghezza dell’arco
- Raggio e corda da un arco
- Rapporto fra area del cerchio e del rettangolo inscritto
- Rettangolo inscritto di area assegnata
- Rettangolo inscritto di perimetro assegnato
- Tangente e secante da un punto esterno
- Triangolo con lati tangenti a una circonferenza
- Triangolo isoscele da raggi inscritto e circoscritto
- Triangolo rettangolo da raggi inscritto e circoscritto
18 Fasci di rette
- Condizione di tangenza di un fascio a una parabola
- Esempio — Passaggio per un punto
- Fascio a sostegno fisso e valore del parametro
- Fascio a sostegno fisso e valore del parametro
- Fascio di rette e condizione di tangenza a una parabola
- Fascio per un punto e fascio a sostegno fisso
- La strategia per determinare il parametro
- Metodo generale per problemi sui fasci
- Retta di un fascio proprio per un punto
- Retta di un fascio proprio per un punto
- Studio completo di un fascio
19 Luoghi geometrici nel piano cartesiano
- Asse di un segmento
- Asse di un segmento dato
- Bisettrici di due rette
- Bisettrici di due rette date
- Parabola da fuoco e direttrice
- Parabola da fuoco e direttrice
20 Circonferenza nel piano cartesiano
- Circonferenza e tangenti da un punto esterno (I)
- Circonferenza e tangenti da un punto esterno (II)
- Circonferenza, intersezioni con una retta e tangenti parallele
- Due circonferenze, centri, raggi e intersezioni
- Esempio — tangenti con il metodo del delta
- Esempio — tangenti con il metodo della distanza
- Tangenti a una circonferenza con più metodi
- Tangenti con il metodo della distanza
21 Ellisse
23 Funzioni, linguaggio e proprietà
- Come calcolare l’inversa
- Continuità nei punti di raccordo
- Effetto di un’imposta sull’equilibrio
- Funzione inversa
- Funzione lineare biiettiva e inversa
- Funzioni a tratti come modelli
- Iniettività e inversa di x³+1
- Inversa di una funzione omografica
- Inversa su dominio ristretto
- Parametri per la continuità
- Punto di pareggio di una piccola impresa
- Risolvere f(x)=3 a tratti
25 Funzione esponenziale
- Anni per raggiungere un milione
- Anni per triplicare un investimento
- Capitale da investire oggi
- Capitale investito al 6 percento
- Capitalizzazione continua
- Crescita di un capitale e tasso di raddoppio
- Crescita di una coltura batterica
- Crescita esponenziale di una popolazione di batteri
- Decadimento radioattivo con dimezzamento
- Equazione a stessa base
- Equazione con sostituzione
- Equazione esponenziale con sostituzione
- Equazione esponenziale elementare
- Equazione esponenziale risolta con i logaritmi
- Equazioni esponenziali e grafico
- Esempi di equazioni esponenziali
- Investimento in azioni ad interesse composto
- Metodi risolutivi
- Percentuale di calo per lezione
- Popolazione di topi con dimezzamento
- Tasso annuo da capitale iniziale e finale
- Tasso continuo per aumentare del sessanta percento
- Tasso di crescita degli utili
- Tasso per triplicare in dodici anni
- Tempi di raddoppio e triplicazione di un capitale
26 Funzione logaritmica
- Anni per raggiungere un capitale obiettivo
- Anni perché la popolazione superi una soglia
- Anni perché la popolazione superi una soglia
- Cinque equazioni logaritmiche
- Due equazioni logaritmiche
- Equazione con esponenziale e logaritmo naturale
- Equazione con logaritmo naturale
- Equazione con passaggio all’esponenziale
- Equazione con somma di logaritmi
- Equazione logaritmica per sostituzione
- Equazioni logaritmiche
- Equazioni logaritmiche (I)
- Equazioni logaritmiche (II)
- Equazioni logaritmiche (III)
- Equazioni logaritmiche (IV)
- Equazioni logaritmiche con condizioni di esistenza
- Quattro equazioni logaritmiche
- Raddoppio con capitalizzazione continua
- Tasso continuo per quintuplicare in vent’anni
- Tasso continuo per triplicare in dieci anni
- Tasso per raddoppiare in dodici anni
- Tasso per triplicare con capitalizzazione trimestrale
- Tempo di dimezzamento di una sostanza
- Tempo di raddoppio di un capitale
- Tempo per maturare un dato interesse
- Tempo per moltiplicare per 2,5 volte
- Tempo per quadruplicare con capitalizzazione continua
- Tempo per raddoppiare al sei percento
- Tempo per raddoppiare con capitalizzazione trimestrale
- Tempo per triplicare con capitalizzazione mensile
27 Metodi unificanti per equazioni e disequazioni
- Equazione esponenziale con sostituzione
- Equazione irrazionale-esponenziale
- Equazioni esponenziali e logaritmiche
- Idea 1: sostituzione
- Idea 2: applicazione di una funzione iniettiva
- Una checklist per l’esame orale
28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan
- Equazione goniometrica elementare
- 2
- Equazioni elementari con secante e cotangente
- Leggere le soluzioni sul grafico
30 Formule parametriche, prostaferesi, Werner
31 Equazioni goniometriche
- Definizione e metodo di risoluzione
- Due equazioni lineari elementari in seno e coseno
- Equazione con la formula di duplicazione
- Equazione con prostaferesi
- Equazione di secondo grado in coseno
- Equazione di secondo grado in seno
- Equazione elementare in coseno
- Equazione elementare in coseno
- Equazione in tangente al quadrato
- Equazione lineare con due metodi
- Equazione lineare con il metodo dell’angolo aggiunto
- Equazione lineare in seno e coseno via duplicazione
- Equazione omogenea di secondo grado
- Equazione omogenea di secondo grado
- Equazioni e disequazioni goniometriche assortite
- Equazioni goniometriche elementari
- Equazioni goniometriche elementari (I)
- Equazioni goniometriche elementari (II)
- Equazioni goniometriche elementari con seno e coseno
- Equazioni riconducibili a omogenee
- Equazioni risolubili per sostituzione
- Lettura sulla circonferenza goniometrica
- Metodo dell’angolo aggiunto
- Metodo delle formule parametriche
35 Probabilità avanzata
36 Numeri complessi
- Equazione di secondo grado e radici n-esime in C
- Equazione di secondo grado in C
- Equazioni e radici n-esime nel campo complesso
- Equazioni in campo complesso
- Teorema fondamentale dell’algebra
38 Geometria sintetica nello spazio
- Cilindro equilatero inscritto in una sfera
- Cilindro retto da relazione fra altezza e raggio
- Cono dallo sviluppo del settore laterale
- Cono retto da relazioni fra altezza raggio e apotema
- Dimensioni di un parallelepipedo da diagonale e uno spigolo
- Parallelepipedo con dimensioni proporzionali e somma degli spigoli
- Piramide quadrangolare regolare da somma spigolo-altezza
- Volume di un parallelepipedo dalle aree delle facce
- Volume di una piramide da superficie totale e rapporto
41 Continuità e discontinuità
42 Derivate
44 Integrale
46 Equazioni differenziali
- Circuito RC in scarica
- Circuito RLC in oscillazione libera
- Crescita esponenziale
- Equazione caratteristica e i tre casi
- Esempio svolto y’ − y = eˣ
- Esercizio svolto — y’ = −2xy (la gaussiana)
- Esercizio svolto — y’ = 3y con y(0)=2
- Esercizio svolto — y’ − y = eˣ
- Esercizio svolto — y” + 9y = 0 con condizioni iniziali
- Formula risolutiva delle equazioni lineari del primo ordine
- Massa-molla con attrito
- Massa-molla senza attrito
- Metodo di separazione delle variabili
- Oscillatore armonico
- Problema — Caduta con resistenza dell’aria
Skill — Solving equations.
Featured in chapters
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Linked atoms
297 linked atoms.
Literal calculus
Algebraic fractions
Percentages
- Capital from the simple interest
- Initial price with two changes
- List price from the discounted price
- The trader’s margin
First-degree equations
- A number I am thinking of
- Ages of Marco and Lia
- Coffee blend
- Crate of bricks
- Discussion of a parametric equation
- Example — equation with fractions
- First principle of equivalence
- Five consecutive integers
- Five plus the reciprocal
- Fractional equation
- Fractional equation with a parameter
- Fractional equations
- From the problem to the equation
- Knee pads and jerseys
- Literal equations and parameters
- My age in six years
- My uncle and I
- Percentage increase
- Proportional distribution
- Second principle of equivalence
- Tanks and taps
- The riddle of Diophantus
- Two trains in pursuit
- What an equation is
Foundations of Euclidean geometry
Working method — how to solve a problem
Quadratic and fractional equations
- ‘Fractional equations: two exercises’
- A biquadratic equation
- A complete cubic
- A fractional equation reduced to second degree
- A fractional equation reducing to a quadratic
- A fractional equation with a root to reject
- A quadratic solved by factorising
- A quadratic solved by the formula
- Building quadratic equations with prescribed roots
- Cardano after the depressed form
- Cardano in action
- Checking a root of the cubic
- 2 = x − 3
- Fractional equation reducible to second degree
- Fractional equation reducing to a quadratic
- Fractional equation with a constant term
- Fractional equation with a rejected solution
- Fractional equation with factorable denominators
- Fractional equation with integer roots
- Fractional equation with no real solutions
- Fractional equation with solutions 0 and 3
- Fractional equations with existence conditions
- Golden section of a segment
- Nested radical with sums
- Optimal profit price for luxury cars
- Quadratic by factoring
- Quadratic equations with irrational coefficients
- Quadratic in product form
- Revision: fractional equations
- Solving by completing the square
- Sum and product of the roots
- The continued fraction of the square root of 2
- The depressed form
- The golden number
- The market stall’s takings
- The quadratic formula
- The quadratic formula and the discriminant
- Two numbers with given difference and product
- Two numbers with given sum and product
- Two numbers with given sum and product
- Two numbers with given sum and product (II)
- Two quadratic equations with the formula
- What a continued fraction is
The parabola
- Distances and intersections between a line and a parabola
- Equation of a parabola from its elements and a parabola with a minimum
- Equation with two absolute values (|2x-1| = |x+3|)
- Equations and inequalities with absolute values
- Equations with absolute value
- Finding the equation of a parabola and of a line
- Line tangent to the parabola
- Line-parabola intersection and whether a point belongs to a curve
- Parabola and intersection with a line
- Parabola and line, intersections and relative position
- Parabola as a product of two lines
- Parabola from vertex form
- Parabola with a given vertex tangent to a line
- Parabola, secant line, perpendicular and distance (I)
- Parabola, secant line, perpendicular and distance (II)
- Parabola: vertex and intercepts with the axes
- Parabola: vertex, intercepts and distance from a point
- Points of a parabola at a fixed distance from a line
- Recognising a parabola and a line from the graph and their intersections
- Rectangle with given perimeter: maximum area
- Tangent lines to a parabola from an external point
- The georectangle problem: area as a parabola
- Two parabolas from a graph and their difference
- Two parabolas: equations, intersections and difference parabola
- Two parabolas: vertices, intercepts and distance between the vertices
- Vertex and axis intercepts
- Vertex, roots and intercept of a parabola
Surds and irrational equations
- An equation linear in the square root
- An irrational equation via squaring
- Examples of solved irrational equations
- The solving method
- Two irrational equations
- What an irrational equation is
Equivalence and Pythagoras’ theorem
- Hypotenuse, altitude and projections of the legs
- Leg and altitude as a fraction of the hypotenuse
- Legs from the altitude and the ratio of the legs
- Legs of a right triangle via Pythagoras and Euclid
- Sides of the triangle from a projection and the area of a square
- Sum of squared distances from a point on the diagonal
- The median-length theorem and computing a median
Similarity
- Problem — A chord parallel to a side and the similar triangle
- Problem — Segments cut by the bisector on the opposite side
- Sides of the triangle from the bisector
Circle (Euclidean geometry)
- A chord intersecting a diameter
- Area of an annulus
- Circle inscribed in a rhombus
- Circumference from the power of an interior point
- Inscribed rectangle of given area
- Inscribed rectangle of given perimeter
- Intersecting chords
- Isosceles triangle from the inradius and circumradius
- Problem — Shortest chord through an interior point
- Radius and chord from an arc
- Radius from central angle and arc length
- Ratio between the areas of a circle and an inscribed rectangle
- Right triangle from the inradius and circumradius
- Tangent and secant from an external point
- Triangle with sides tangent to a circle
Pencils of lines
- Complete study of a pencil
- Example — Passing through a point
- Fixed-base pencil and the parameter value
- Fixed-base pencil and the parameter value
- General method for pencil problems
- Line of a proper pencil through a point
- Line of a proper pencil through a point
- Pencil of lines and tangency condition to a parabola
- Pencil through a point and pencil with a fixed base point
- Tangency condition of a pencil to a parabola
- The strategy for determining the parameter
Geometric loci in the Cartesian plane
- Bisectors of two given lines
- Bisectors of two lines
- Parabola from focus and directrix
- Parabola from focus and directrix
- Perpendicular bisector of a given segment
- Perpendicular bisector of a segment
The circle in the Cartesian plane
- Circle and tangents from an external point (I)
- Circle and tangents from an external point (II)
- Circle, intersections with a line and parallel tangents
- Example — tangents with the delta method
- Example — tangents with the distance method
- Tangents to a circle by several methods
- Tangents with the distance method
- Two circles, centres, radii and intersections
Ellipse
Functions: language and properties
- Bijective linear function and its inverse
- Break-even point of a small business
- Continuity at the junction points
- Effect of a tax on equilibrium
- How to compute the inverse
- Injectivity and inverse of x³+1
- Inverse function
- Inverse of a homographic function
- Inverse on a restricted domain
- Parameters for continuity
- Piecewise functions as models
- Solving f(x)=3 piecewise
Exponential function
- Annual rate from initial and final capital
- Capital growth and doubling rate
- Capital invested at 6 percent
- Capital to invest today
- Compound-interest share investment
- Continuous compounding
- Continuous rate to grow by sixty percent
- Doubling and tripling times of a capital
- Earnings growth rate
- Elementary exponential equation
- Equation by substitution
- Equation with the same base
- Examples of exponential equations
- Exponential equation by substitution
- Exponential equation solved with logarithms
- Exponential equations and a graph
- Exponential growth of a bacteria population
- Growth of a bacterial culture
- Mouse population with halving
- Percentage decrease per lesson
- Radioactive decay with half-life
- Rate to triple in twelve years
- Solution methods
- Years to reach one million
- Years to triple an investment
Logarithmic function
- Continuous rate to quintuple in twenty years
- Continuous rate to triple in ten years
- Doubling time of a capital
- Doubling with continuous compounding
- Equation with a sum of logarithms
- Equation with an exponential and a natural logarithm
- Equation with passage to the exponential
- Equation with the natural logarithm
- Five logarithmic equations
- Four logarithmic equations
- Half-life of a substance
- Logarithmic equation by substitution
- Logarithmic equations
- Logarithmic equations (I)
- Logarithmic equations (II)
- Logarithmic equations (III)
- Logarithmic equations (IV)
- Logarithmic equations with existence conditions
- Rate to double in twelve years
- Rate to triple with quarterly compounding
- Time to double at six percent
- Time to double with quarterly compounding
- Time to earn a given interest
- Time to grow to 2.5 times
- Time to quadruple with continuous compounding
- Time to triple with monthly compounding
- Two logarithmic equations
- Years for the population to exceed a threshold
- Years for the population to exceed a threshold
- Years to reach a target capital
Unifying methods for equations and inequalities
- A checklist for the oral exam
- Exponential and logarithmic equations
- Exponential equation with substitution
- Idea 1: substitution
- Idea 2: applying an injective function
- Irrational-exponential equation
The unit circle and the functions sine, cosine, tangent
- Elementary equations with secant and cotangent
- Elementary trigonometric equation
- 2
- Reading the solutions off the graph
Parametric, sum-to-product and Werner formulae
Trigonometric equations
- Assorted trigonometric equations and inequalities
- Definition and solution method
- Elementary equation in cosine
- Elementary equation in cosine
- Elementary trigonometric equations
- Elementary trigonometric equations (I)
- Elementary trigonometric equations (II)
- Elementary trigonometric equations with sine and cosine
- Equation in tangent squared
- Equation using the double-angle formula
- Equation with sum-to-product formulae
- Equations reducible to homogeneous ones
- Equations solvable by substitution
- Homogeneous second-degree equation
- Linear equation by the added-angle method
- Linear equation in sine and cosine via double-angle
- Linear equation with two methods
- Quadratic equation in cosine
- Reading on the trigonometric circle
- Second-degree equation in sine
- Second-degree homogeneous equation
- The auxiliary-angle method
- The parametric-formulae method
- Two elementary equations in sine and cosine
Advanced probability
Complex numbers
- Equations and nth roots in the complex field
- Equations in the complex field
- Quadratic equation and nth roots in C
- Quadratic equation in C
- The fundamental theorem of algebra
Synthetic geometry in space
- Box dimensions from the diagonal and one edge
- Box with proportional dimensions and given edge sum
- Cone from its lateral development sector
- Equilateral cylinder inscribed in a sphere
- Pyramid volume from total surface and ratio
- Regular square pyramid from edge-height sum
- Right cone from height, radius and slant relations
- Right cylinder from a height-radius relation
- Volume of a box from its face areas
Continuity and discontinuity
Derivatives
Integral
Differential equations
- Discharging RC circuit
- Exponential growth
- Harmonic oscillator
- Mass-spring with friction
- Mass-spring without friction
- Method of separation of variables
- Problem — Fall with air resistance
- RLC circuit in free oscillation
- Solution formula for first-order linear equations
- The characteristic equation and the three cases
- Worked example y’ − y = eˣ
- Worked exercise — y’ = −2xy (the Gaussian)
- Worked exercise — y’ = 3y with y(0)=2
- Worked exercise — y’ − y = eˣ
- Worked exercise — y” + 9y = 0 with initial conditions