Principi di equivalenza

Risolvere un’equazione significa isolare l’incognita, e per farlo abbiamo bisogno di regole che ci autorizzino a modificare l’uguaglianza senza cambiarne le soluzioni. Sono i due principi di equivalenza: il primo permette di aggiungere o togliere la stessa quantità a entrambi i membri, il secondo di moltiplicare o dividere per una stessa quantità diversa da zero. Con questi due strumenti ogni equazione di primo grado si riduce alla forma $ax=b$.

• Che cos’è un’equazione
• Primo principio di equivalenza
• Secondo principio di equivalenza
• Esempio — equazione con frazioni

Solving an equation means isolating the unknown, and to do so we need rules that authorise us to modify the equality without changing its solutions. These are the two principles of equivalence: the first allows us to add or remove the same quantity to both sides, the second to multiply or divide by the same quantity different from zero. With these two tools every first-degree equation reduces to the form $ax=b$.

• What an equation is
• First principle of equivalence
• Second principle of equivalence
• Example — equation with fractions

Prima di imparare a risolvere le equazioni, mettiamo a fuoco che cosa siano esattamente e che cosa significhi “risolverle”.

Definizione — Equazione

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più incognite. Risolvere un’equazione significa trovare i valori dell’incognita che rendono l’uguaglianza vera.

Non tutti i valori dell’incognita rendono vera l’uguaglianza: la soluzione è proprio l’insieme di quelli che lo fanno. Le due espressioni ai lati del segno di uguale si chiamano membri dell’equazione, il primo e il secondo.

Storia — Le equazioni prima dei simboli

Problemi che oggi scriveremmo come equazioni di primo grado compaiono già nel papiro di Rhind, un rotolo egizio copiato intorno al 1650 a.C. dallo scriba Ahmes a partire da un testo ancora più antico. L’incognita vi è chiamata aha (“mucchio, quantità”): un tipico problema chiede di trovare la quantità che, sommata alla sua settima parte, dà $19$ — cioè $x + \tfrac{1}{7}x = 19$ (Boyer). Per risolverlo gli Egizi non manipolavano un’uguaglianza simbolica, ma usavano un ingegnoso procedimento di prova e correzione, il metodo della falsa posizione (Katz).

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Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Equazione · Incognita
Competenze: Risolvere equazioni
Persone: Ahmes

Before learning to solve equations, let us clarify exactly what they are and what “solving them” means.

Definition — Equation

An equation is an equality between two expressions containing one or more unknowns. Solving an equation means finding the values of the unknown that make the equality true.

Not all values of the unknown make the equality true: the solution is precisely the set of those that do. The two expressions on either side of the equals sign are called the sides of the equation, the first and the second.

History — Equations before symbols

Problems that we would write today as first-degree equations already appear in the Rhind papyrus, an Egyptian scroll copied around 1650 BC by the scribe Ahmes from an even older text. The unknown is called aha (“heap, quantity”): a typical problem asks for the quantity that, added to its seventh part, gives $19$ — that is, $x + \tfrac{1}{7}x = 19$ (Boyer). To solve it the Egyptians did not manipulate a symbolic equality but used an ingenious trial-and-correction procedure, the method of false position (Katz).

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Il primo dei due strumenti fondamentali riguarda l’addizione e la sottrazione: possiamo “spostare” un termine da un membro all’altro purché ne cambiamo il segno.

Proprietà — Primo principio di equivalenza

Addizionando o sottraendo la stessa quantità a entrambi i membri, l’equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza (ha cioè le stesse soluzioni).

In pratica, questo principio giustifica il “trasporto” di un termine da un membro all’altro cambiandone il segno: è esattamente l’operazione che gli antichi algebristi chiamavano al-jabr.

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• Introduction to Solving Equations — Eddie Woo

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The first of the two fundamental tools concerns addition and subtraction: we can “move” a term from one side to the other provided we change its sign.

Property — First principle of equivalence

Adding or subtracting the same quantity to both sides, the equation obtained is equivalent to the original one (that is, it has the same solutions).

In practice, this principle justifies the “transfer” of a term from one side to the other by changing its sign: it is exactly the operation that the ancient algebraists called al-jabr.

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Il secondo strumento riguarda la moltiplicazione e la divisione. Qui c’è una condizione da non dimenticare mai: il fattore deve essere diverso da zero.

Proprietà — Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per la stessa quantità diversa da zero, l’equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza.

Attenzione

La condizione “diversa da zero” è essenziale: moltiplicare entrambi i membri per $0$ trasformerebbe qualsiasi equazione nell’uguaglianza $0=0$, perdendo ogni informazione sulle soluzioni.

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The second tool concerns multiplication and division. Here there is a condition that must never be forgotten: the factor must be different from zero.

Property — Second principle of equivalence

Multiplying or dividing both sides by the same quantity different from zero, the equation obtained is equivalent to the original one.

Warning

The condition “different from zero” is essential: multiplying both sides by $0$ would turn any equation into the equality $0=0$, losing all information about the solutions.

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Vediamo i due principi al lavoro su un’equazione con i denominatori. La strategia è ridurre allo stesso denominatore e poi liberarsene con il secondo principio.

Esempio

Risolviamo: $-\frac{x}{2} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{x}{3}$ Riduciamo allo stesso denominatore, che è $6$: $\frac{-3x+24}{6} = \frac{16+2x}{6}$ Per il secondo principio moltiplichiamo entrambi i membri per $6$: $\begin{aligned} -3x+24 &= 16+2x \\ -5x &= -8 \\ x &= \boxed{\dfrac{8}{5}} \end{aligned}$

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Let us see the two principles at work on an equation with denominators. The strategy is to reduce to the same denominator and then get rid of it with the second principle.

Example

Let us solve: $-\frac{x}{2} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{x}{3}$ We reduce to the same denominator, which is $6$: $\frac{-3x+24}{6} = \frac{16+2x}{6}$ By the second principle we multiply both sides by $6$: $\begin{aligned} -3x+24 &= 16+2x \\ -5x &= -8 \\ x &= \boxed{\dfrac{8}{5}} \end{aligned}$

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Molto prima che si scrivessero equazioni con lettere e segni di uguale, gli antichi Egizi sapevano già risolvere problemi che noi tradurremmo in equazioni di primo grado. La testimonianza più celebre è il papiro di Rhind (o papiro di Ahmes), un rotolo lungo più di cinque metri copiato intorno al 1650 a.C. dallo scriba Ahmes da un originale ancora più antico. È una raccolta di 84 problemi pratici — pane, birra, terreni, mangimi — e in molti di essi compare un’incognita, chiamata aha, cioè “mucchio” o “quantità”.

Un problema del papiro

Il problema 24 del papiro chiede, in sostanza:

Una quantità e la sua settima parte, sommate, danno $19$. Quanto vale la quantità?

Con il nostro simbolismo scriveremmo semplicemente $x + \frac{1}{7}x = 19.$

Gli Egizi non disponevano di questa notazione, e usavano invece il metodo della falsa posizione: si sceglie un valore di comodo per l’incognita, si calcola il risultato che produce e poi lo si corregge con una proporzione.

Come funziona

Conviene scegliere un valore “falso” che renda facili i calcoli: qui $7$, perché la sua settima parte è un numero intero. Sostituendo $x = 7$: $7 + \frac{1}{7}\cdot 7 = 7 + 1 = 8.$

Il tentativo dà $8$, ma noi vogliamo $19$. Poiché l’espressione $x + \tfrac{1}{7}x$ è proporzionale a $x$, basta moltiplicare il valore falso per il fattore di correzione $\dfrac{19}{8}$: $x = 7 \cdot \frac{19}{8} = \frac{133}{8} = 16 + \frac{5}{8}.$

E infatti $16\tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{7}\cdot 16\tfrac{5}{8} = 19$: la risposta è esatta. Il metodo funziona perché l’equazione è lineare e omogenea nell’incognita — raddoppiando $x$ raddoppia anche il primo membro — cosicché il rapporto tra risultato voluto e risultato ottenuto è esattamente il rapporto tra la soluzione vera e il valore falso.

Perché ci interessa ancora

La falsa posizione mostra che l’idea di “isolare l’incognita” con i principi di equivalenza non è l’unico modo di ragionare: per secoli, dagli Egizi fino all’algebra medievale, si è risolto per tentativi guidati dalla proporzionalità. Solo con il simbolismo moderno il procedimento è diventato la manipolazione meccanica che oggi conosciamo. Vale la pena notare che il metodo, così com’è, funziona solo per equazioni del tipo $ax = b$: per equazioni con un termine noto additivo (come $ax + c = b$) occorre la variante della doppia falsa posizione, sviluppata più tardi.

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Persone: Ahmes

Long before equations were written with letters and equals signs, the ancient Egyptians already knew how to solve problems that we would translate into first-degree equations. The most famous witness is the Rhind papyrus (or Ahmes papyrus), a scroll more than five metres long copied around 1650 BC by the scribe Ahmes from an even older original. It is a collection of 84 practical problems — bread, beer, land, fodder — and in many of them an unknown appears, called aha, meaning “heap” or “quantity”.

A problem from the papyrus

Problem 24 of the papyrus asks, in essence:

A quantity and its seventh part, added together, give $19$. What is the quantity?

With our symbolism we would simply write $x + \frac{1}{7}x = 19.$

The Egyptians had no such notation, and instead used the method of false position: one picks a convenient value for the unknown, computes the result it produces, and then corrects it with a proportion.

How it works

It pays to choose a “false” value that makes the arithmetic easy: here $7$, because its seventh part is a whole number. Substituting $x = 7$: $7 + \frac{1}{7}\cdot 7 = 7 + 1 = 8.$

The trial gives $8$, but we want $19$. Since the expression $x + \tfrac{1}{7}x$ is proportional to $x$, it suffices to multiply the false value by the correction factor $\dfrac{19}{8}$: $x = 7 \cdot \frac{19}{8} = \frac{133}{8} = 16 + \frac{5}{8}.$

And indeed $16\tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{7}\cdot 16\tfrac{5}{8} = 19$: the answer is exact. The method works because the equation is linear and homogeneous in the unknown — doubling $x$ doubles the left-hand side too — so the ratio between the desired result and the obtained result is exactly the ratio between the true solution and the false value.

Why it still matters

False position shows that the idea of “isolating the unknown” with the principles of equivalence is not the only way to reason: for centuries, from the Egyptians to medieval algebra, problems were solved by guesses guided by proportionality. Only with modern symbolism did the procedure become the mechanical manipulation we know today. It is worth noting that the method, as it stands, works only for equations of the type $ax = b$: for equations with an additive constant term (such as $ax + c = b$) one needs the double false position variant, developed later.

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