Equazioni di secondo grado e fratte

In seconda alziamo il livello: le equazioni non sono più solo lineari, ma possono avere l’incognita al quadrato. Questo cambia tutto, perché le soluzioni possono essere due, una sola, oppure nessuna nel campo reale. Il capitolo riprende le equazioni fratte, introduce la forma canonica $ax^2+bx+c=0$ e la formula risolutiva con il discriminante $\Delta$ , presenta le formule di Vieta che legano somma e prodotto delle radici ai coefficienti e la loro applicazione ai sistemi simmetrici. Nella parte finale si spinge oltre il programma minimo: la formula di Cardano per le cubiche, le frazioni continue, i radicali annidati infiniti e le serie geometriche di aree, temi in cui l’algebra di secondo grado diventa uno strumento sorprendentemente potente.

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Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In the second year we raise the level: equations are no longer only linear, but can have the unknown squared. This changes everything, because the solutions can be two, just one, or none in the real field. The chapter revisits fractional equations, introduces the canonical form $ax^2+bx+c=0$ and the resolving formula with the discriminant $\Delta$ , presents Vieta’s formulae relating the sum and product of the roots to the coefficients and their application to symmetric systems. In the final part it goes beyond the minimum syllabus: Cardano’s formula for cubics, continued fractions, infinite nested radicals and geometric series of areas, topics in which quadratic algebra becomes a surprisingly powerful tool.

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All the worked exercises of the chapter

Un’equazione fratta ha l’incognita anche al denominatore. Prima di risolverla occorre imporre le condizioni di esistenza (i denominatori devono essere diversi da zero) e, alla fine, verificare che le soluzioni trovate siano accettabili. Verificare che un valore sia soluzione significa controllare che, sostituendolo, l’uguaglianza diventi vera.

Esempio

Per quale valore di $a$ l’equazione $\frac{2x}{x-a} + \frac{3}{x^2-4} + 2 = 0$ ha tra le soluzioni $x=5$ ? Imporre che $x=5$ sia soluzione significa richiedere che, sostituendo $x=5$ , l’uguaglianza risulti vera (verifica). Basta dunque sostituire $x=5$ nell’equazione e risolvere l’equazione risultante nell’incognita $a$ .

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione fratta · Verifica del risultato
Competenze: Risolvere equazioni

A fractional equation has the unknown in the denominator as well. Before solving it you must impose the existence conditions (the denominators must be non-zero) and, at the end, check that the solutions found are acceptable. To verify that a value is a solution means to check that, on substituting it, the equality becomes true.

Example

For which value of $a$ does the equation $\frac{2x}{x-a} + \frac{3}{x^2-4} + 2 = 0$ have $x=5$ among its solutions? Requiring $x=5$ to be a solution means demanding that, on substituting $x=5$ , the equality turns out true (a check). It is therefore enough to substitute $x=5$ into the equation and solve the resulting equation in the unknown $a$ .

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Existence conditions · Fractional equation · Checking the result
Skills: Solving equations

Storia — Tartaglia, Cardano e la formula del cubo

Le equazioni di secondo grado erano risolte già dai babilonesi (circa 1800 a.C.), ma per quelle di terzo grado si dovette aspettare il XVI secolo italiano. Intorno al 1535, Niccolò Fontana detto Tartaglia (“il balbuziente”, dopo una ferita riportata da bambino) trovò un metodo per risolvere le cubiche del tipo $x^3+px=q$ . Lo comunicò sotto giuramento di segretezza a Gerolamo Cardano, che però la pubblicò nella sua Ars Magna (1545). Ne nacque una delle più celebri controversie della storia della matematica.

L’Ars Magna è un libro rivoluzionario per più ragioni: non solo conteneva la formula risolutiva delle cubiche e (grazie all’allievo Ludovico Ferrari) anche delle quartiche, ma — soprattutto — costringeva a fare i conti con delle “radici di numeri negativi” che apparivano nei calcoli. È in queste pagine che, per la prima volta, l’algebra incontra i numeri immaginari (Boyer, cap. 13). Una bellissima narrazione di tutta la vicenda si trova in Dunham (cap. 6).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione terzo grado · Numeri immaginari
Persone: Gerolamo Cardano · Lodovico Ferrari · Niccolò Tartaglia

History — Tartaglia, Cardano and the cube formula

Quadratic equations were already solved by the Babylonians (around 1800 BC), but for cubic ones one had to wait for the sixteenth-century Italy. Around 1535, Niccolò Fontana known as Tartaglia (“the stammerer”, after a wound suffered as a child) found a method for solving cubics of the type $x^3+px=q$ . He communicated it under an oath of secrecy to Gerolamo Cardano, who nevertheless published it in his Ars Magna (1545). This gave rise to one of the most famous controversies in the history of mathematics.

The Ars Magna is a revolutionary book for several reasons: it not only contained the resolving formula for cubics and (thanks to his pupil Ludovico Ferrari) also for quartics, but — above all — it forced one to reckon with certain “roots of negative numbers” that appeared in the calculations. It is in these pages that, for the first time, algebra meets the imaginary numbers (Boyer, ch. 13). A beautiful account of the whole affair can be found in Dunham (ch. 6).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Cubic equation · Imaginary numbers
People: Gerolamo Cardano · Lodovico Ferrari · Niccolò Tartaglia

Matematica — Liceo

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