Equazioni irrazionali

Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice. Per risolverla si isola la radice e si eleva al quadrato — ma attenzione: questo passaggio può introdurre soluzioni “false” (estranee) che vanno eliminate con la verifica. Questa sezione spiega il metodo passo per passo e lo schema compatto $\sqrt{A(x)}=B(x)$.

• Che cos’è un’equazione irrazionale
• Il metodo di risoluzione
• Esempi di equazioni irrazionali risolte

An equation is called irrational when the unknown appears under the radical sign. To solve it, one isolates the root and squares — but beware: this step can introduce “false” (extraneous) solutions that must be eliminated by checking. This section explains the method step by step and the compact scheme $\sqrt{A(x)}=B(x)$.

• What an irrational equation is
• The solving method
• Examples of solved irrational equations

Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice. Per risolverla si isola la radice e si eleva al quadrato; questo passaggio, però, può introdurre soluzioni “false” che vanno eliminate con la verifica.

Esempio — Come inventare un'equazione con la $x$ sotto radice

1. Scrivi un’identità tra due numeri che sono quadrati perfetti, es. $9=9$.
2. Fai la radice: $\sqrt{9}=3$.
3. Decidi il risultato, es. $x=8$.
4. Scrivi $9$ come espressione che coinvolga $8$, es. $x+1=9$.
5. L’equazione è $\sqrt{x+1}=3$, con soluzione $x=8$.

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Argomenti: Radicali
Concetti: Equazione irrazionale
Competenze: Risolvere equazioni

An equation is called irrational when the unknown appears under the radical sign. To solve it, one isolates the root and squares; this step, however, can introduce “false” solutions that must be eliminated by checking.

Example — How to invent an equation with $x$ under a root

1. Write an identity between two numbers that are perfect squares, e.g. $9=9$.
2. Take the root: $\sqrt{9}=3$.
3. Decide the result, e.g. $x=8$.
4. Write $9$ as an expression involving $8$, e.g. $x+1=9$.
5. The equation is $\sqrt{x+1}=3$, with solution $x=8$.

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Concepts: Irrational equation
Skills: Solving equations

Il metodo standard per un’equazione irrazionale con una radice quadrata isola il radicale, eleva al quadrato e poi controlla le soluzioni.

In sintesi — Metodo di risoluzione

Per risolvere un’equazione irrazionale con radice quadrata:

1. Isolare il radicale da un lato.
2. Determinare la C.E.: argomento $\ge 0$.
3. Determinare la C.C.S. (condizione di concordanza di segno): il membro senza radice deve essere $\ge 0$.
4. Elevare al quadrato entrambi i membri.
5. Risolvere l’equazione risultante.
6. Verificare che le soluzioni soddisfino C.E. e C.C.S. (scartare le soluzioni estranee).

Osservazione — Schema compatto $\sqrt{A(x)}=B(x)$

Molte equazioni irrazionali si presentano nella forma “isolata” $\sqrt{A(x)}=B(x)$. In tal caso il sistema equivalente è: $\sqrt{A(x)}=B(x) \iff \begin{cases} B(x)\ge 0 \\ A(x) = B^2(x) \end{cases}$ La condizione di esistenza $A(x)\ge 0$ è facoltativa: se $A(x)=B^2(x)$, allora automaticamente $A(x)\ge 0$ perché un quadrato non può essere negativo. Resta comunque necessario scrivere le C.E. per tutte le altre radici eventualmente presenti nell’equazione.

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Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione irrazionale · Soluzione estranea
Metodi: Equazione irrazionale elevamento
Competenze: Risolvere equazioni

The standard method for an irrational equation with one square root isolates the radical, squares it and then checks the solutions.

In brief — Solving method

To solve an irrational equation with a square root:

1. Isolate the radical on one side.
2. Determine the domain of existence: argument $\ge 0$.
3. Determine the sign-agreement condition: the member without the root must be $\ge 0$.
4. Square both members.
5. Solve the resulting equation.
6. Check that the solutions satisfy the domain of existence and the sign-agreement condition (discard the extraneous solutions).

Remark — Compact scheme $\sqrt{A(x)}=B(x)$

Many irrational equations appear in the “isolated” form $\sqrt{A(x)}=B(x)$. In that case the equivalent system is: $\sqrt{A(x)}=B(x) \iff \begin{cases} B(x)\ge 0 \\ A(x) = B^2(x) \end{cases}$ The existence condition $A(x)\ge 0$ is optional: if $A(x)=B^2(x)$, then automatically $A(x)\ge 0$ because a square cannot be negative. It remains necessary, however, to write the domain of existence for all the other roots that may be present in the equation.

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Concepts: Conditions of existence · Irrational equation · Extraneous solution
Methods: Irrational equation squaring
Skills: Solving equations

Due esempi svolti che mostrano il metodo all’opera: nel primo l’equazione non ha soluzioni, nel secondo una delle due soluzioni è estranea e va scartata.

Esempio 1 — Nessuna soluzione

$x - 2\sqrt{x+1} + 3 = 0$.

Isoliamo: $-2\sqrt{x+1} = -3-x \implies \sqrt{x+1} = \dfrac{x+3}{2}$.

C.E.: $x+1\ge 0 \implies x\ge -1$.

C.C.S.: $\dfrac{x+3}{2}\ge 0 \implies x\ge -3$.   C.E. totale: $x\ge -1$.

Eleviamo al quadrato: $x+1 = \frac{(x+3)^2}{4} \implies 4x+4 = x^2+6x+9 \implies x^2+2x+5=0$ $\Delta = 4-20 = -16 < 0$: nessuna soluzione.

Esempio 2 — Una soluzione estranea da scartare

$\sqrt{8-x}-2x+6=0$.

Isoliamo: $\sqrt{8-x}=2x-6$.

C.E.: $8-x\ge 0 \implies x\le 8$.

C.C.S.: $2x-6\ge 0 \implies x\ge 3$.   C.E. totale: $3\le x\le 8$.

Eleviamo al quadrato: $8-x = (2x-6)^2 = 4x^2-24x+36 \implies 4x^2-23x+28=0$ $\Delta = 529-448 = 81 = 9^2$ $x_A = \frac{23+9}{8} = 4 \quad(\checkmark\ \text{in } [3,8]), \qquad x_B = \frac{23-9}{8} = \frac{7}{4} \quad(\tfrac{7}{4}<3,\ \text{scartata})$

Verifica: $\sqrt{8-4}-2(4)+6 = 2-8+6 = 0$ ✓.

Soluzione: $\boxed{x=4}$.

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Two worked examples that show the method in action: in the first the equation has no solutions, in the second one of the two solutions is extraneous and must be discarded.

Example 1 — No solution

$x - 2\sqrt{x+1} + 3 = 0$.

Isolate: $-2\sqrt{x+1} = -3-x \implies \sqrt{x+1} = \dfrac{x+3}{2}$.

Domain of existence: $x+1\ge 0 \implies x\ge -1$.

Sign-agreement condition: $\dfrac{x+3}{2}\ge 0 \implies x\ge -3$.   Total domain of existence: $x\ge -1$.

Square: $x+1 = \frac{(x+3)^2}{4} \implies 4x+4 = x^2+6x+9 \implies x^2+2x+5=0$ $\Delta = 4-20 = -16 < 0$: no solution.

Example 2 — An extraneous solution to discard

$\sqrt{8-x}-2x+6=0$.

Isolate: $\sqrt{8-x}=2x-6$.

Domain of existence: $8-x\ge 0 \implies x\le 8$.

Sign-agreement condition: $2x-6\ge 0 \implies x\ge 3$.   Total domain of existence: $3\le x\le 8$.

Square: $8-x = (2x-6)^2 = 4x^2-24x+36 \implies 4x^2-23x+28=0$ $\Delta = 529-448 = 81 = 9^2$ $x_A = \frac{23+9}{8} = 4 \quad(\checkmark\ \text{in } [3,8]), \qquad x_B = \frac{23-9}{8} = \frac{7}{4} \quad(\tfrac{7}{4}<3,\ \text{scartata})$

Check: $\sqrt{8-4}-2(4)+6 = 2-8+6 = 0$ ✓.

Solution: $\boxed{x=4}$.

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