Dopo aver imparato a manipolare espressioni e polinomi, siamo pronti a risolvere le equazioni: cercare il valore dell’incognita che rende vera un’uguaglianza. Il cuore del capitolo sono i due principi di equivalenza, gli strumenti che permettono di “spostare” i termini da un membro all’altro senza alterare le soluzioni. A partire da qui affrontiamo le equazioni fratte (con l’incognita al denominatore e le loro condizioni di esistenza), le equazioni letterali o parametriche (che richiedono una discussione al variare dei parametri) e infine una ricca galleria di problemi verbali — età, moto, miscele, vasche, percentuali, ripartizioni — tutti riconducibili a una sola equazione lineare.
Sezioni
- Principi di equivalenza
- Equazioni fratte
- Equazioni letterali (parametriche)
- Problemi risolvibili con equazioni di primo grado
Approfondimenti
Esercizi
Having learned to manipulate expressions and polynomials, we are ready to solve equations: to find the value of the unknown that makes an equality true. The heart of the chapter is the two principles of equivalence, the tools that let us “move” terms from one side to the other without altering the solutions. From here we tackle fractional equations (with the unknown in the denominator and their existence conditions), literal or parametric equations (which require a discussion as the parameters vary) and finally a rich gallery of word problems — ages, motion, mixtures, tanks, percentages, distributions — all reducible to a single linear equation.
Sections
- Principles of equivalence
- Fractional equations
- Literal (parametric) equations
- Problems solvable with first-degree equations
Further reading
Exercises
Quando nell’equazione compaiono frazioni con l’incognita al denominatore, dobbiamo prestare attenzione: un denominatore non può mai annullarsi. Il metodo si articola quindi in due passi. Prima si trovano le condizioni di esistenza (i valori dell’incognita che rendono nullo qualche denominatore e che vanno perciò esclusi), poi si risolve l’equazione, scartando alla fine ogni eventuale soluzione che violi quelle condizioni.
In pratica conviene scomporre numeratore e denominatore, così da individuare con chiarezza i valori vietati e da poter semplificare i fattori comuni.
Collegamenti
Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione fratta
Competenze: Risolvere equazioni · Scomporre
When fractions with the unknown in the denominator appear in the equation, we must pay attention: a denominator can never vanish. The method therefore falls into two steps. First we find the conditions of existence (the values of the unknown that make some denominator zero and that must therefore be excluded), then we solve the equation, discarding at the end any solution that violates those conditions.
In practice it is best to factorise the numerator and denominator, so as to identify clearly the forbidden values and to be able to simplify the common factors.
Links
Topics: First-degree equations
Concepts: Conditions of existence · Fractional equation
Skills: Solving equations · Factorising
Da dove viene la parola “algebra”? La sua origine è legata a un’unica opera e a un unico autore, e ci racconta molto su che cosa significhi davvero risolvere un’equazione.
Storia — al-Khwārizmī e la nascita dell'algebra
La parola “algebra” deriva direttamente dal titolo di un’opera scritta intorno all’820 d.C. a Baghdad da Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (“Libro compendioso del calcolo per restaurazione e riduzione”). Il termine al-jabr (“restaurazione”) si riferisce all’operazione di trasferire un termine sottratto da un membro all’altro dell’equazione cambiandolo di segno — esattamente quel che oggi facciamo applicando il primo principio di equivalenza. Al-muqābala (“riduzione”) è invece la cancellazione di termini uguali nei due membri.
al-Khwārizmī non usava simboli: tutte le sue equazioni erano scritte a parole. Eppure dimostrò sistematicamente come risolvere le equazioni di primo e secondo grado, classificandole in sei tipi canonici (per evitare i coefficienti negativi, che non erano ancora accettati). Anche il termine “algoritmo” deriva dalla latinizzazione del suo nome (Algoritmi) (Berggren, 2003, cap. 1).
Collegamenti
Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Equazione · Principio di equivalenza
Persone: al-Khwārizmī
Where does the word “algebra” come from? Its origin is linked to a single work and a single author, and it tells us a great deal about what solving an equation really means.
History — al-Khwārizmī and the birth of algebra
The word “algebra” derives directly from the title of a work written around AD 820 in Baghdad by Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (“The Compendious Book on Calculation by Restoration and Reduction”). The term al-jabr (“restoration”) refers to the operation of transferring a subtracted term from one side of the equation to the other, changing its sign — exactly what we do today when applying the first principle of equivalence. Al-muqābala (“reduction”) is instead the cancellation of equal terms on the two sides.
al-Khwārizmī did not use symbols: all his equations were written in words. Yet he demonstrated systematically how to solve first- and second-degree equations, classifying them into six canonical types (to avoid negative coefficients, which were not yet accepted). The term “algorithm” too derives from the Latinisation of his name (Algoritmi) (Berggren, 2003, ch. 1).
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Topics: First-degree equations
Concepts: Equation · Principle of equivalence
People: al-Khwārizmī