Esempi svolti con Venn e tabella

Vediamo come applicare il metodo Venn–tabella a situazioni concrete. In tutti gli esempi procediamo così: si fissano gli eventi, si traducono i dati in vincoli sulle quantità $x, y, z, t$, si risolve il sistema e si risponde alla domanda. Gli esempi mostrano anche errori classici da evitare, come confondere $P(A\mid B)$ con $P(B\mid A)$.

• Esempio — Vaccino antinfluenzale
• Esempio — Letalità di un virus
• Esempio — Rapina e forze dell’ordine
• Esempio — Esame di guida

Let us see how to apply the Venn–table method to concrete situations. In all the examples we proceed as follows: we fix the events, translate the data into constraints on the quantities $x, y, z, t$, solve the system and answer the question. The examples also show classic mistakes to avoid, such as confusing $P(A\mid B)$ with $P(B\mid A)$.

• Example — Influenza vaccine
• Example — Lethality of a virus
• Example — Robbery and law enforcement
• Example — Driving test

Esempio — Vaccino antinfluenzale

Giorgio deve decidere se vaccinarsi contro l’influenza. Sappiamo che il vaccino ha copertura parziale. Definiamo:

• $A$ = “Giorgio si vaccina”;
• $B$ = “Giorgio prende l’influenza”.

Dai dati statistici: $P(A) = \tfrac{1}{5}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$, e tra i vaccinati la percentuale di ammalati è $P(B\mid A) = \tfrac{1}{6}$.

Il vaccino protegge? Se $A$ e $B$ fossero indipendenti, vaccinarsi non farebbe alcuna differenza. Confrontiamo $P(B\mid A)$ con $P(B)$:

$P(B\mid A) = \tfrac{1}{6} \approx 0,167 \quad < \quad P(B) = \tfrac{1}{3} \approx 0,333.$

Vaccinarsi dimezza la probabilità di ammalarsi: gli eventi $A$ e $B$ sono correlati negativamente. Per la legge della probabilità composta:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{30}.$

Quindi la correlazione vale:

$\operatorname{corr}(A,B) = \frac{1/30}{(1/5)(1/3)} - 1 = \frac{1/30}{1/15} - 1 = \tfrac{1}{2}-1 = \boxed{-\tfrac{1}{2}}.$

La correlazione negativa conferma l’effetto protettivo del vaccino.

Riempiamo la tabella. Con $P(A\cap B) = \tfrac{1}{30}$ deduciamo tutte le celle:

Da qui possiamo rispondere ad altre domande, per esempio: tra chi non si vaccina, qual è la probabilità di ammalarsi?

$P(B\mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} = \frac{9/30}{24/30} = \boxed{\tfrac{3}{8} = 37,5\%}.$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Correlazione · Probabilita condizionata · Tabella di contingenza
Metodi: Prob condizionata · Tabella contingenza
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare

Example — Influenza vaccine

Giorgio has to decide whether to get vaccinated against influenza. We know that the vaccine has partial coverage. Let us define:

• $A$ = “Giorgio gets vaccinated”;
• $B$ = “Giorgio catches influenza”.

From the statistical data: $P(A) = \tfrac{1}{5}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$, and among the vaccinated the proportion of those who fall ill is $P(B\mid A) = \tfrac{1}{6}$.

Does the vaccine protect? If $A$ and $B$ were independent, getting vaccinated would make no difference. Let us compare $P(B\mid A)$ with $P(B)$:

$P(B\mid A) = \tfrac{1}{6} \approx 0,167 \quad < \quad P(B) = \tfrac{1}{3} \approx 0,333.$

Getting vaccinated halves the probability of falling ill: the events $A$ and $B$ are negatively correlated. By the law of compound probability:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{30}.$

So the correlation is:

$\operatorname{corr}(A,B) = \frac{1/30}{(1/5)(1/3)} - 1 = \frac{1/30}{1/15} - 1 = \tfrac{1}{2}-1 = \boxed{-\tfrac{1}{2}}.$

The negative correlation confirms the protective effect of the vaccine.

Let us fill in the table. With $P(A\cap B) = \tfrac{1}{30}$ we deduce all the cells:

From here we can answer other questions, for example: among those who do not get vaccinated, what is the probability of falling ill?

$P(B\mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} = \frac{9/30}{24/30} = \boxed{\tfrac{3}{8} = 37,5\%}.$

Links

Topics: Probability
Concepts: Correlation · Conditional probability · Contingency table
Methods: Conditional probability · Contingency table
Skills: Probability calculation · Modelling

Esempio — Letalità di un virus

Durante un’epidemia, un virus $A$ colpisce circa lo $0{,}1\%$ della popolazione: $P(A) = 0,001$. La letalità riportata (probabilità di morire una volta contratto il virus) è $P(B\mid A) = 0,03$, dove $B$ = “il soggetto muore”.

Domanda: qual è la probabilità complessiva di morire a causa del virus? Per la legge della probabilità composta:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = 0,001\cdot 0,03 = \boxed{0,00003}.$

Tre persone su centomila: un numero che, moltiplicato per milioni di abitanti, dà comunque un impatto notevole.

Domanda inversa: tra i deceduti nel periodo, sapendo che in totale $P(B) = 0,00037$, qual è la frazione imputabile al virus?

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0,00003}{0,00037} \approx \boxed{0,081 \approx 8\%}.$

Quindi circa l’$8\%$ dei decessi complessivi è attribuibile al virus.

Attenzione

$P(A\mid B)$ e $P(B\mid A)$ sono quantità molto diverse: confonderle è un errore classico. Qui la letalità $P(B\mid A)=3\%$ e la frazione di decessi imputabili al virus $P(A\mid B)\approx 8\%$ rispondono a due domande completamente distinte.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Formula del prodotto · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita

Example — Lethality of a virus

During an epidemic, a virus $A$ strikes about $0{,}1\%$ of the population: $P(A) = 0,001$. The reported lethality (the probability of dying once the virus has been contracted) is $P(B\mid A) = 0,03$, where $B$ = “the subject dies”.

Question: what is the overall probability of dying because of the virus? By the law of compound probability:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = 0,001\cdot 0,03 = \boxed{0,00003}.$

Three people in a hundred thousand: a figure that, multiplied by millions of inhabitants, nonetheless has a considerable impact.

Reverse question: among those who died in the period, knowing that in total $P(B) = 0,00037$, what fraction is attributable to the virus?

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0,00003}{0,00037} \approx \boxed{0,081 \approx 8\%}.$

So about $8\%$ of the overall deaths is attributable to the virus.

Caution

$P(A\mid B)$ and $P(B\mid A)$ are very different quantities: confusing them is a classic mistake. Here the lethality $P(B\mid A)=3\%$ and the fraction of deaths attributable to the virus $P(A\mid B)\approx 8\%$ answer two completely distinct questions.

Links

Topics: Probability
Concepts: Product formula · Conditional probability · Bayes’ theorem
Methods: Bayes · Conditional probability
Skills: Probability calculation

Esempio — Rapina e forze dell'ordine

Sia $A$ = “il soggetto viene preso dalla polizia” e $B$ = “il soggetto fa la rapina”. I dati: $P(A\mid B) = 0,6, \quad P(A\mid \overline{B}) = 0,1, \quad P(A) = 0,3.$ Domanda: qual è $P(B)$?

Impostiamo il diagramma di Venn con quattro incognite $x, y, z, t$, dove $x=P(A\cap\overline{B})$, $y=P(A\cap B)$, $z=P(B\cap\overline{A})$, $t=P(\overline{A}\cap\overline{B})$. Traduciamo i dati in un sistema: