Equazioni esponenziali

Un’equazione esponenziale ha l’incognita all’esponente. Per risolverla si sfrutta l’iniettività della funzione esponenziale, riducendo l’equazione a una forma più semplice. Tre sono i metodi principali — stessa base, sostituzione e passaggio al logaritmo — che qui introduciamo e mostriamo su esempi svolti.

• Metodi risolutivi
• Esempi di equazioni esponenziali

An exponential equation has the unknown in the exponent. To solve it one exploits the injectivity of the exponential function, reducing the equation to a simpler form. There are three main methods — same base, substitution and passing to the logarithm — which here we introduce and demonstrate on worked examples.

• Solution methods
• Examples of exponential equations

Per risolvere un’equazione esponenziale si cerca sempre di ricondursi a una forma in cui si possa “togliere la base” o sostituire una nuova incognita.

In sintesi — Metodi principali

1. Stessa base. Se si riesce a scrivere entrambi i membri come potenze con la stessa base, ad esempio $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, allora — per l’iniettività della funzione esponenziale — si può “togliere la base” e ridurre l’equazione a $f(x) = g(x)$.
2. Sostituzione. Se nell’equazione compare un’espressione del tipo $a^x$ più volte (o $a^{2x} = (a^x)^2$), si pone $t = a^x$ (con la condizione $t > 0$) e si risolve un’equazione in $t$ — spesso di secondo grado. Infine si torna a $x$ imponendo $a^x = t$ per ogni radice $t > 0$ trovata.
3. Passaggio al logaritmo. Se non si può fare nulla di meglio, si applica il logaritmo (prossimo capitolo) per portare l’esponente $x$ in forma “lineare”. Lo vedremo dopo aver definito i logaritmi.

I primi due metodi sono quelli che useremo subito; il terzo richiede il logaritmo e sarà trattato nel capitolo successivo.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Iniettivita
Funzioni: Funzione esponenziale
Metodi: Esponenziale equazioni
Competenze: Risolvere equazioni

To solve an exponential equation one always tries to reduce it to a form in which one can “remove the base” or substitute a new unknown.

In summary — Main methods

1. Same base. If both sides can be written as powers with the same base, for example $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, then — by the injectivity of the exponential function — one can “remove the base” and reduce the equation to $f(x) = g(x)$.
2. Substitution. If an expression of the form $a^x$ appears several times in the equation (or $a^{2x} = (a^x)^2$), one sets $t = a^x$ (with the condition $t > 0$) and solves an equation in $t$ — often a quadratic. Finally one returns to $x$ by imposing $a^x = t$ for each root $t > 0$ found.
3. Passing to the logarithm. If nothing better can be done, one applies the logarithm (next chapter) to bring the exponent $x$ into “linear” form. We shall see this after having defined the logarithms.

The first two methods are the ones we shall use straight away; the third requires the logarithm and will be dealt with in the following chapter.

Links

Topics: Exponential function
Concepts: Injectivity
Functions: Exponential function
Methods: Exponential equations
Skills: Solving equations

Vediamo all’opera i primi due metodi: la riduzione alla stessa base e la sostituzione.

Esempio — Stessa base

Risolvere $2^{x+1} = 8^{x-1}$.

Poiché $8 = 2^3$, si ha $8^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}$. Per iniettività dell’esponenziale: $x + 1 = 3x - 3 \iff -2x = -4 \iff x = 2.$

Esempio — Sostituzione

Risolvere $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$.

Osserviamo che $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Ponendo $t = 2^x$ con $t > 0$: $t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t = 1 \ \vee\ t = 2.$ Entrambe le soluzioni sono positive, quindi accettabili. Tornando a $x$:

• $2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0$;
• $2^x = 2 = 2^1 \implies x = 1$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Iniettivita
Funzioni: Funzione esponenziale
Metodi: Esponenziale equazioni
Competenze: Risolvere equazioni

Let us see the first two methods in action: reduction to the same base and substitution.

Example — Same base

Solve $2^{x+1} = 8^{x-1}$.

Since $8 = 2^3$, we have $8^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}$. By injectivity of the exponential: $x + 1 = 3x - 3 \iff -2x = -4 \iff x = 2.$

Example — Substitution

Solve $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$.

Observe that $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Setting $t = 2^x$ with $t > 0$: $t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t = 1 \ \vee\ t = 2.$ Both solutions are positive, hence acceptable. Returning to $x$:

• $2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0$;
• $2^x = 2 = 2^1 \implies x = 1$.

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Topics: Exponential function
Concepts: Injectivity
Functions: Exponential function
Methods: Exponential equations
Skills: Solving equations