Radicali annidati infiniti

Cosa succede se mettiamo un radicale dentro un radicale, dentro un radicale… all’infinito? Con un piccolo trucco algebrico — sfruttare il fatto che la struttura si ripete identica — possiamo ricondurci a un’equazione di secondo grado e calcolare il valore esatto di queste espressioni.

• Il numero aureo
• Radicale annidato con somme

What happens if we put a radical inside a radical, inside a radical… to infinity? With a small algebraic trick — exploiting the fact that the structure repeats identically — we can reduce it to a quadratic equation and compute the exact value of these expressions.

• The golden number
• Nested radical with sums

Un radicale annidato infinito si calcola osservando che la parte interna, essendo infinita, è uguale all’intera espressione: da qui nasce un’equazione di secondo grado.

Esempio — Il numero aureo

Sia $S = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$.

La parte che si ripete è $S$ stesso: $S = \sqrt{1+S}$.

C.E.: $1+S\ge 0$ (soddisfatta per $S\ge 0$). C.C.S.: $S\ge 0$.

Elevando al quadrato: $S^2 = 1+S \implies S^2-S-1=0$. $S = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ Scartando la soluzione negativa: $\boxed{S = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618}$ (la sezione aurea).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Radicale annidato · Sezione aurea
Competenze: Risolvere equazioni

An infinite nested radical is evaluated by noticing that the inner part, being infinite, equals the whole expression: from this a quadratic equation arises.

Example — The golden number

Let $S = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$.

The part that repeats is $S$ itself: $S = \sqrt{1+S}$.

Existence condition: $1+S\ge 0$ (satisfied for $S\ge 0$). Acceptability condition: $S\ge 0$.

Squaring: $S^2 = 1+S \implies S^2-S-1=0$. $S = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ Discarding the negative solution: $\boxed{S = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618}$ (the golden ratio).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Quadratic equation · Nested radical · Golden ratio
Skills: Solving equations

Lo stesso trucco funziona quando davanti al radicale compare un addendo: si isola il radicale, si eleva al quadrato e si ottiene un’equazione di secondo grado.

Esempio — Radicale annidato con somme

$G = 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$. Allora $G = 2+\sqrt{G}$, cioè $(G-2)^2 = G$: $G^2-5G+4=0 \implies (G-1)(G-4)=0 \implies \boxed{G=4}$ (scartando $G=1$ perché $G \ge 2$).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Radicale annidato
Competenze: Risolvere equazioni

The same trick works when a term appears in front of the radical: you isolate the radical, square it and obtain a quadratic equation.

Example — Nested radical with sums

$G = 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$. Then $G = 2+\sqrt{G}$, that is $(G-2)^2 = G$: $G^2-5G+4=0 \implies (G-1)(G-4)=0 \implies \boxed{G=4}$ (discarding $G=1$ because $G \ge 2$).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Quadratic equation · Nested radical
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