Funzione logaritmica

Nel capitolo precedente abbiamo visto che l’esponenziale $\exp_a(x) = a^x$ è una funzione biunivoca da $\mathbb{R}$ a $(0;+\infty)$. Per il teorema sull’esistenza dell’inversa possiamo allora definirne la funzione inversa: è proprio il logaritmo. Questo capitolo introduce la definizione di logaritmo come esponente, le proprietà fondamentali (prodotto, quoziente, potenza) e la formula del cambio di base, studia il grafico del logaritmo come riflessione di quello dell’esponenziale, e mette a punto i metodi per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche. Chiude un’ampia sezione applicativa sulle scale logaritmiche — decibel, scala Richter, pH, magnitudini stellari — dove il logaritmo mostra la sua utilità nel descrivere fenomeni che variano su molti ordini di grandezza.

Sezioni

• Definizione
• Proprietà dei logaritmi
• Cambio di base
• Grafico e funzione inversa
• Equazioni logaritmiche
• Disequazioni logaritmiche
• Scale logaritmiche e decibel

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In the previous chapter we saw that the exponential $\exp_a(x) = a^x$ is a bijective function from $\mathbb{R}$ to $(0;+\infty)$. By the theorem on the existence of the inverse we can then define its inverse function: it is precisely the logarithm. This chapter introduces the definition of logarithm as an exponent, the fundamental properties (product, quotient, power) and the change-of-base formula, studies the graph of the logarithm as the reflection of that of the exponential, and develops the methods for solving logarithmic equations and inequalities. It closes with a broad section of applications on logarithmic scales — decibels, Richter scale, pH, stellar magnitudes — where the logarithm shows its usefulness in describing phenomena that vary over many orders of magnitude.

Sections

• Definition
• Properties of logarithms
• Change of base
• Graph and inverse function
• Logarithmic equations
• Logarithmic inequalities
• Logarithmic scales and decibels

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di un logaritmo si segue uno schema fisso, che parte sempre dalle condizioni di esistenza.

In sintesi — Metodi

1. Scrivere le CE (argomenti $>0$) prima di tutto.
2. Ricondurre a un unico logaritmo per membro usando le proprietà, poi sfruttare l’iniettività: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ (con CE).
3. Sostituzione: se compare $\log_a x$ più volte, porre $t = \log_a x$ e risolvere in $t$.
4. Passaggio all’esponenziale: $\log_a f(x) = k \iff f(x) = a^k$.
5. Verificare sempre le CE alla fine.

Esempio — $\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = 1$

CE: $x+1 > 0 \ \wedge\ x-1 > 0 \iff x > 1$.

Unione dei logaritmi (proprietà del prodotto): $\log_3\bigl((x+1)(x-1)\bigr) = 1$, cioè $\log_3(x^2-1) = 1$.

Passaggio all’esponenziale: $x^2 - 1 = 3^1 = 3 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

Verifica CE: $x = -2$ non soddisfa $x > 1$ (scartata); $x = 2$ sì.

Soluzione: $\boxed{x = 2}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazioni logaritmiche · Iniettivita · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Logaritmo equazioni
Competenze: Risolvere equazioni

To solve an equation in which the unknown appears in the argument of a logarithm one follows a fixed scheme, which always starts from the existence conditions.

In summary — Methods

1. Write the ECs (arguments $>0$) first of all.
2. Reduce to a single logarithm per side using the properties, then exploit injectivity: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ (with ECs).
3. Substitution: if $\log_a x$ appears several times, set $t = \log_a x$ and solve in $t$.
4. Passing to the exponential: $\log_a f(x) = k \iff f(x) = a^k$.
5. Check the ECs always at the end.

Example — $\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = 1$

EC: $x+1 > 0 \ \wedge\ x-1 > 0 \iff x > 1$.

Union of the logarithms (product property): $\log_3\bigl((x+1)(x-1)\bigr) = 1$, that is $\log_3(x^2-1) = 1$.

Passing to the exponential: $x^2 - 1 = 3^1 = 3 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

EC check: $x = -2$ does not satisfy $x > 1$ (discarded); $x = 2$ does.

Solution: $\boxed{x = 2}$.

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Existence conditions · Logarithmic equations · Injectivity · Logarithm
Functions: Logarithmic function
Methods: Logarithm equations
Skills: Solve equations

Essendo l’inversa dell’esponenziale, il grafico del logaritmo si ottiene per riflessione da quello dell’esponenziale, e ne “eredita” specularmente tutte le caratteristiche.

Proprietà — Caratteristiche del logaritmo

Per ogni $a > 0,\ a\ne 1$:

• Dominio: $(0;+\infty)$;
• Immagine: $\mathbb{R}$;
• Monotonia: crescente se $a>1$, decrescente se $0<a<1$;
• Zero: $\log_a 1 = 0$ (la curva passa per $(1;0)$);
• Asintoti: l’asse $y$ ($x=0$) è asintoto verticale.

Il grafico del logaritmo è la riflessione rispetto alla retta $y=x$ del grafico dell’esponenziale corrispondente.

Specularità: il grafico di $y=\log_2 x$ è il riflesso di $y=2^x$ rispetto alla retta $y=x$. Il punto $(0;1)$ dell’esponenziale corrisponde al punto $(1;0)$ del logaritmo; l’asse $x$ (asintoto orizzontale dell’esponenziale) diventa l’asse $y$ (asintoto verticale del logaritmo).

Nella simulazione seguente puoi variare la base $a$ e osservare come il logaritmo e l’esponenziale restano sempre speculari rispetto alla retta $y=x$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Funzione inversa · Grafico di funzione · Logaritmo · Monotonia
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

Being the inverse of the exponential, the graph of the logarithm is obtained by reflecting that of the exponential, and it “inherits” all its features in mirror image.

Property — Features of the logarithm

For every $a > 0,\ a\ne 1$:

• Domain: $(0;+\infty)$;
• Range: $\mathbb{R}$;
• Monotonicity: increasing if $a>1$, decreasing if $0<a<1$;
• Zero: $\log_a 1 = 0$ (the curve passes through $(1;0)$);
• Asymptotes: the $y$-axis ($x=0$) is a vertical asymptote.

The graph of the logarithm is the reflection, with respect to the line $y=x$, of the graph of the corresponding exponential.

Mirror symmetry: the graph of $y=\log_2 x$ is the reflection of $y=2^x$ with respect to the line $y=x$. The point $(0;1)$ of the exponential corresponds to the point $(1;0)$ of the logarithm; the $x$-axis (horizontal asymptote of the exponential) becomes the $y$-axis (vertical asymptote of the logarithm).

In the following simulation you can change the base $a$ and observe how the logarithm and the exponential always remain mirror images with respect to the line $y=x$.

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Inverse function · Graph of a function · Logarithm · Monotonicity
Functions: Exponential function · Logarithmic function
Skills: Interpreting a graph · Drawing a graph