Equazioni a variabili separabili

Sono la famiglia più semplice e più usata: quelle in cui il secondo membro si fattorizza in un pezzo che dipende solo da $x$ e uno che dipende solo da $y$. Il metodo di risoluzione — “separare” le variabili e integrare — apre la porta a una lunga serie di applicazioni fisiche: crescita e decadimento esponenziale, decadimento radioattivo, raffreddamento di Newton, formula barometrica.

• Definizione di equazione a variabili separabili
• Metodo di separazione delle variabili
• Crescita esponenziale
• Decadimento radioattivo
• Raffreddamento del caffè
• Formula barometrica

They are the simplest and most widely used family: those in which the right-hand side factorises into a part depending only on $x$ and one depending only on $y$. The solution method — “separating” the variables and integrating — opens the door to a long series of physical applications: exponential growth and decay, radioactive decay, Newton’s cooling, the barometric formula.

• Definition of a separable equation
• Method of separation of variables
• Exponential growth
• Radioactive decay
• Cooling of coffee
• Barometric formula

Definizione — Equazione a variabili separabili

Un’equazione del tipo $y' = f(x)\cdot g(y)$ si dice a variabili separabili: il secondo membro si fattorizza in un pezzo che dipende solo da $x$ e uno che dipende solo da $y$.

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Equazione differenziale · Variabili separabili

Definition — Separable equation

An equation of the form $y' = f(x)\cdot g(y)$ is called separable: the right-hand side factorises into a part depending only on $x$ and one depending only on $y$.

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Topics: Differential equations
Concepts: Differential equation · Separable variables

In sintesi — Metodo di risoluzione

Usando la notazione di Leibniz $y' = \dfrac{dy}{dx}$, si “separa”: $\frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g(y) \implies \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx.$ Integrando entrambi i membri: $\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx.$ La costante di integrazione $C$ si determina con una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ (problema di Cauchy).

Osservazione — Il "trucco di Leibniz" delle ODE

Separare $\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ in $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ è lecito proprio perché la notazione di Leibniz tratta $dy$ e $dx$ come “frazioni” — lo stesso principio visto per la chain rule e per la sostituzione negli integrali. È tutto coerente.

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Problema di cauchy · Variabili separabili
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni
Persone: Augustin-Louis Cauchy · Gottfried Leibniz

In brief — Solution method

Using Leibniz’s notation $y' = \dfrac{dy}{dx}$, we “separate”: $\frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g(y) \implies \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx.$ Integrating both sides: $\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx.$ The constant of integration $C$ is determined by an initial condition $y(x_0)=y_0$ (Cauchy problem).

Remark — Leibniz's "trick" for ODEs

Separating $\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ into $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ is legitimate precisely because Leibniz’s notation treats $dy$ and $dx$ as “fractions” — the same principle seen for the chain rule and for substitution in integrals. It all fits together.

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Topics: Differential equations
Concepts: Initial condition · Cauchy problem · Separable variables
Skills: Integrating · Solving equations
People: Augustin-Louis Cauchy · Gottfried Leibniz

Esempio — Crescita esponenziale: $y'=ky$

La più semplice ODE: $\dfrac{dy}{dx} = ky$. Separiamo: $\dfrac{dy}{y} = k\,dx$. Integriamo: $\ln|y| = kx + C$, da cui $y = Ae^{kx}$ con $A = e^C$.

Con condizione iniziale $y(0) = y_0$ si ha $A = y_0$, quindi: $\boxed{y(x) = y_0\,e^{kx}}$

Il segno di $k$ decide il comportamento:

• se $k>0$: crescita esponenziale (popolazione, interesse composto);
• se $k<0$: decadimento esponenziale (radioattività).

Storia — Il modello logistico della popolazione

Nel 1798 Thomas Malthus sostenne che una popolazione lasciata libera cresce in modo esponenziale, mentre le risorse aumentano soltanto in modo lineare: una previsione di crescita illimitata e insostenibile. Per correggerla, nel 1838 il matematico belga Pierre François Verhulst propose l’equazione logistica $y' = ky\left(1 - \dfrac{y}{M}\right)$, in cui il tasso di crescita si riduce man mano che $y$ si avvicina alla capacità portante $M$. La sua soluzione è la celebre curva a S (sigmoide), che parte quasi esponenziale e poi si appiattisce verso $M$; è ancora oggi uno strumento di base dalla demografia all’epidemiologia (Boyer; Katz).

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Crescita esponenziale · Decadimento · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni
Persone: Thomas Malthus · Pierre François Verhulst

Example — Exponential growth: $y'=ky$

The simplest ODE: $\dfrac{dy}{dx} = ky$. We separate: $\dfrac{dy}{y} = k\,dx$. We integrate: $\ln|y| = kx + C$, hence $y = Ae^{kx}$ with $A = e^C$.

With initial condition $y(0) = y_0$ we get $A = y_0$, therefore: $\boxed{y(x) = y_0\,e^{kx}}$

The sign of $k$ decides the behaviour:

• if $k>0$: exponential growth (population, compound interest);
• if $k<0$: exponential decay (radioactivity).

History — The logistic model of population

In 1798 Thomas Malthus argued that an unchecked population grows exponentially, while resources increase only linearly: a prediction of unbounded, unsustainable growth. To correct it, in 1838 the Belgian mathematician Pierre François Verhulst proposed the logistic equation $y' = ky\left(1 - \dfrac{y}{M}\right)$, in which the growth rate slows down as $y$ approaches the carrying capacity $M$. Its solution is the famous S-shaped (sigmoid) curve, which starts out almost exponential and then flattens towards $M$; it is still a basic tool from demography to epidemiology (Boyer; Katz).

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Functions: Exponential function
Skills: Integrating · Solving equations

Esempio — Decadimento radioattivo

Un campione radioattivo segue $N'(t) = -\lambda N(t)$, con $\lambda>0$ costante di decadimento.

Soluzione: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$.

Il tempo di dimezzamento $T_{1/2}$ è il tempo per cui $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Da $e^{-\lambda T_{1/2}} = 1/2$ si ricava $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, cioè: $\boxed{T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}}$

La curva $N/N_0 = e^{-\lambda t}$ decresce esponenzialmente; la linea tratteggiata individua il livello $1/2$ raggiunto in $t = T_{1/2}$.

Decadimento esponenziale: la frazione di nuclei residui $N/N_0$ dimezza dopo ogni tempo $T_{1/2}$.

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Concetti: Decadimento · Tempo di dimezzamento · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Modellizzare

Example — Radioactive decay

A radioactive sample follows $N'(t) = -\lambda N(t)$, with $\lambda>0$ the decay constant.

Solution: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$.

The half-life $T_{1/2}$ is the time for which $N(T_{1/2}) = N_0/2$. From $e^{-\lambda T_{1/2}} = 1/2$ we obtain $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, that is: $\boxed{T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}}$

The curve $N/N_0 = e^{-\lambda t}$ decreases exponentially; the dashed line marks the level $1/2$ reached at $t = T_{1/2}$.

Exponential decay: the fraction of remaining nuclei $N/N_0$ halves after each time $T_{1/2}$.

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Esempio — Raffreddamento del caffè (legge di Newton)

Un bicchiere di caffè a temperatura $T$ si raffredda in un ambiente a $T_{\text{amb}}$: $\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr), \qquad k>0.$ Separiamo: $\dfrac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt$. Integrando: $\ln|T-T_{\text{amb}}| = -kt+C$, da cui: $\boxed{T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-kt}}$

La temperatura decresce esponenzialmente verso $T_{\text{amb}}$, con velocità proporzionale alla differenza corrente tra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente.

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Concetti: Decadimento · Legge di raffreddamento di newton · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Modellizzare
Persone: Isaac Newton

Example — Cooling of coffee (Newton's law)

A cup of coffee at temperature $T$ cools in an environment at $T_{\text{amb}}$: $\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr), \qquad k>0.$ We separate: $\dfrac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt$. Integrating: $\ln|T-T_{\text{amb}}| = -kt+C$, hence: $\boxed{T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-kt}}$

The temperature decreases exponentially towards $T_{\text{amb}}$, at a rate proportional to the current difference between the temperature of the body and that of the environment.

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Skills: Integrating · Modelling
People: Isaac Newton

Esempio — Formula barometrica

La pressione atmosferica $P$ varia con l’altitudine $h$ secondo: $\frac{dP}{dh} = -\frac{0{,}028\cdot g}{R\,T}\,P = -\alpha\,P,$ dove $g=9{,}81$ m/s², $R=8{,}314$ J/(mol$\cdot$K), $T$ è la temperatura assoluta.

Separiamo: $\dfrac{dP}{P}=-\alpha\,dh$, da cui $P(h) = P_0\,e^{-\alpha h}$.

Con $T=293$ K: $\alpha = \dfrac{0{,}028\times 9{,}81}{8{,}314\times 293} \approx 1{,}13\times 10^{-4}$ m$^{-1}$. Quindi: $\boxed{P(h) = 101\,325\cdot e^{-0{,}000113\,h}}$ (con $h$ in metri, $P$ in Pascal).

Esempio numerico. A che altitudine la pressione è metà di quella al livello del mare? $e^{-0{,}000113\,h} = 0{,}5 \implies h = \frac{\ln 2}{0{,}000113} \approx 6\,135\text{ m}.$ È un risultato ragionevole: in cima all’Everest, a circa $8\,848$ m, la pressione è circa un terzo di quella al livello del mare.

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Concetti: Decadimento · Formula barometrica · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Integrare · Modellizzare

Example — Barometric formula

The atmospheric pressure $P$ varies with altitude $h$ according to: $\frac{dP}{dh} = -\frac{0{,}028\cdot g}{R\,T}\,P = -\alpha\,P,$ where $g=9{,}81$ m/s², $R=8{,}314$ J/(mol$\cdot$K), $T$ is the absolute temperature.

We separate: $\dfrac{dP}{P}=-\alpha\,dh$, hence $P(h) = P_0\,e^{-\alpha h}$.

With $T=293$ K: $\alpha = \dfrac{0{,}028\times 9{,}81}{8{,}314\times 293} \approx 1{,}13\times 10^{-4}$ m$^{-1}$. Therefore: $\boxed{P(h) = 101\,325\cdot e^{-0{,}000113\,h}}$ (with $h$ in metres, $P$ in Pascals).

Numerical example. At what altitude is the pressure half that at sea level? $e^{-0{,}000113\,h} = 0{,}5 \implies h = \frac{\ln 2}{0{,}000113} \approx 6\,135\text{ m}.$ It is a reasonable result: at the summit of Everest, at about $8\,848$ m, the pressure is about a third of that at sea level.

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