Competenza — Geometria sintetica.
Presente nei capitoli
08·09·10·14·15·16·33·38·42·44
Atomi collegati
172 atomi collegati.
08 Fondamenti di geometria euclidea
- Angoli alla base del triangolo isoscele
- Angoli formati da rette parallele e trasversale
- Angoli opposti al vertice
- Angoli opposti congruenti e parallelogramma
- Applicazione dello schema
- Asse di un segmento
- Bisettrice come asse e quadrilateri con diagonali particolari
- Bisettrice, mediana e altezza
- Che cos’è un luogo geometrico
- Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli
- Diagonali che si bisecano e parallelogramma
- Dimostrazioni con il parallelismo
- Il parallelogramma
- Il primo criterio di congruenza
- Il rettangolo
- Il rombo e la diagonale bisettrice
- Il rombo e le diagonali perpendicolari
- Il secondo criterio di congruenza
- Il teorema di Talete
- Il terzo criterio di congruenza
- L’angolo esterno è maggiore degli interni non adiacenti
- L’asse come luogo geometrico
- Le cinque mosse più frequenti
- Problema — Angoli supplementari consecutivi sono adiacenti
- Problema — Angolo esterno alla base del triangolo isoscele è ottuso
- Problema — Angolo interno di un pentadecagono regolare
- Problema — Angolo tra due altezze di un triangolo acutangolo
- Problema — Angolo tra due bisettrici interne di un triangolo
- Problema — Bisettrici degli angoli alla base congruenti
- Problema — Bisettrici di angoli adiacenti perpendicolari
- Problema — Bisettrici di angoli alterni interni parallele
- Problema — Bisettrici di angoli corrispondenti parallele
- Problema — Bisettrici di angoli opposti al vertice
- Problema — Complementari di angoli acuti disuguali
- Problema — Congruenza con le altezze
- Problema — Congruenza di triangoli isosceli con angolo al vertice
- Problema — Criterio di congruenza con gli angoli esterni
- Problema — I punti medi dei lati di un rettangolo formano un rombo
- Problema — Il parallelogramma di Varignon e le sue classificazioni
- Problema — Le bisettrici di un parallelogramma formano un rettangolo
- Problema — Le bisettrici di un rettangolo formano un quadrato
- Problema — Le diagonali del trapezio isoscele sono congruenti
- Problema — Le metà di angoli supplementari sono complementari
- Problema — Luogo degli estremi di segmenti congruenti e paralleli da una retta
- Problema — Luogo dei punti medi dei segmenti da un punto a una retta
- Problema — Luogo del vertice di un triangolo con base e altezza fissate
- Problema — Mediana relativa all’ipotenusa
- Problema — Mediana uguale a metà del lato implica triangolo rettangolo
- Problema — Nel trapezio la differenza delle basi è minore della somma dei lati obliqui
- Problema — Numero di lati dall’angolo esterno
- Problema — Punti equidistanti sui lati di un triangolo equilatero
- Problema — Punti medi e differenza di segmenti
- Problema — Triangolo diviso dai punti medi in quattro triangoli congruenti
- Problema — Triangolo rettangolo con un angolo doppio dell’altro
- Schema per le dimostrazioni
- Somma degli angoli interni di un triangolo
- Teorema della cerniera
09 Metodo di lavoro — come risolvere un problema
- Esempio — capire un problema di geometria
- Esempio — cercare la strada, il triangolo isoscele
- Esempio — rileggere la dimostrazione della bisettrice
- Esempio — svolgere la dimostrazione della bisettrice
- Problema svolto — la bisettrice del triangolo isoscele
10 Equazioni di secondo grado e fratte
- Rettangolo di area massima con lato parallelo a un cateto
- Rettangolo inscritto di area massima in un triangolo rettangolo
14 Equivalenza e teorema di Pitagora
- Cateti con i teoremi di Pitagora ed Euclide
- Cateti da altezza e rapporto tra i cateti
- Cateto e altezza frazione dell’ipotenusa
- Enunciati di Euclide, Talete, similitudine e bisettrice
- Equiscomponibilità di triangolo e parallelogramma
- Equivalenza ed equiscomponibilità
- I punti medi dei lati generano quattro triangoli equivalenti
- Il parallelogramma di Varignon è metà del quadrilatero
- Il quadrato sulla diagonale è doppio del quadrato
- Incommensurabilità di lato e altezza del triangolo equilatero
- Ipotenusa, altezza e proiezioni dei cateti
- La mediana divide il triangolo in due parti equivalenti
- Lati del triangolo da una proiezione e area di un quadrato
- Parallelogramma dentro un rettangolo
- Primo teorema di Euclide, dimostrazioni e inverso
- Quadrato dell’altezza nel triangolo equilatero
- Rettangolo dei cateti e rettangolo di ipotenusa e altezza
- Rettangolo di area massima a perimetro fissato
- Rettangolo di area massima con perimetro 16
- Somma dei quadrati delle distanze da un punto sulla diagonale
- Talete grande, equiscomponibilità e triangolo-parallelogramma
- Teorema della mediana e calcolo di una mediana
- Teorema di Pitagora
- Torta a rombo divisa in tre parti equivalenti
- Triangolo isoscele di area massima con lato obliquo fissato
15 Similitudine
- Corda minima per un punto interno e media proporzionale
- Corda parallela a un lato e triangolo simile
- Corda per il baricentro parallela a un lato
- Dimostrazione dei teoremi di Euclide
- Enunciato e dimostrazione del teorema della bisettrice
- Il problema del Paguro
- Lati del triangolo dalla bisettrice
- Parallela per il baricentro e rapporto delle aree
- Primo criterio di similitudine
- Primo teorema di Euclide
- Proporzionalità di mediane, bisettrici e altezze in triangoli simili
- Rettangolo di area massima in un triangolo isoscele (base 5, altezza 8)
- Rettangolo di area massima inscritto in un triangolo isoscele
- Secondo teorema di Euclide
- Segmenti staccati dalla bisettrice sul lato opposto
- Teorema della bisettrice e teorema dei punti medi
- Teorema di Talete sul fascio di rette tagliato da parallele
- Torta rettangolare divisa in tre parti da tagli paralleli alla diagonale
- Torta triangolare tagliata in tre fette di area assegnata
- Trapezio da perpendicolari in un triangolo equilatero
- Triangoli simili
16 Circonferenza
- Angolo al centro e angolo alla circonferenza
- Angolo inscritto in una semicirconferenza
- Angolo tra tangente e corda
- Baricentro - concorrenza delle mediane
- Circocentro - concorrenza degli assi
- Corda che interseca un diametro
- Corda comune a due circonferenze secanti
- Corde che si intersecano
- Dimostrazione dell’angolo al centro
- I quattro punti notevoli
- Incentro - concorrenza delle bisettrici
- Ortocentro - concorrenza delle altezze
- Problema — Angolo al centro triplo
- Problema — Centro sulla bisettrice dell’angolo
- Problema — Corda minima per un punto interno
- Problema — Corde congruenti e il diametro
- Problema — Corde parallele dagli estremi di un diametro
- Problema — Corde parallele e archi congruenti
- Problema — Secante a due circonferenze concentriche
- Problema — Segmenti di tangenza da un punto esterno
- Problema — Tangenti a sessanta gradi
- Problema — Tangenti agli estremi di un diametro
- Problema — Trapezio isoscele da corde parallele
- Problema — Triangolo equilatero dalle tangenti
- Quadrato con diagonali note
- Quadrato inscritto in un quadrato con angoli di 30 e 60 gradi
- Rettangolo inscritto di area assegnata
- Rettangolo inscritto di perimetro assegnato
- Tangenti da un punto esterno
- Teorema della bisettrice
- Teorema delle corde
- Teoria della circonferenza, corde, quadrilateri e circocentro
- Torta a rombo con cerchio inscritto rimosso
- Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza
- Triangolo con lati tangenti a una circonferenza
- Triangolo isoscele da raggi inscritto e circoscritto
- Triangolo rettangolo da raggi inscritto e circoscritto
33 Trigonometria dei triangoli
- Lato di un poligono regolare inscritto
- Risolvere un triangolo con il teorema del coseno
- Teorema della bisettrice con il teorema dei seni
- Trigonometria nei triangoli rettangoli
38 Geometria sintetica nello spazio
- Angolo diedro faccia-base
- Angolo diedro nel cubo
- Eulero per il prisma pentagonale
- Formula di Eulero
- I cinque solidi platonici
- Il cubo - diagonale e sezione esagonale
- L’angolo diedro e la sezione normale
- La piramide
- Prismi e parallelepipedi
- Retta perpendicolare a un piano
- Sfera inscritta in un cono
- Teorema delle tre perpendicolari
- Teorema di Talete nello spazio
42 Derivate
- Cilindro inscritto in un cono
- Rettangolo inscritto in un semicerchio
- Trapezio inscritto in un semicerchio
44 Integrale
- Cavalieri all’opera - prisma e sfera
- Il principio di Cavalieri
- Piramidi equivalenti via Cavalieri
- Semisfera e cilindro via Cavalieri
- Triangoli equivalenti (Cavalieri 2D)
Skill — Synthetic geometry.
Featured in chapters
08·09·10·14·15·16·33·38·42·44
Linked atoms
172 linked atoms.
Foundations of Euclidean geometry
- A scheme for proofs
- Angles formed by parallel lines and a transversal
- Applying the scheme
- Base angles of the isosceles triangle
- Bisector, median and altitude
- Congruence criteria for right triangles
- Congruent opposite angles and parallelogram
- Diagonals that bisect each other and parallelogram
- Perpendicular bisector of a segment
- Problem — A median equal to half a side implies a right triangle
- Problem — A right triangle with one angle double the other
- Problem — A triangle divided by its midpoints into four congruent triangles
- Problem — Angle between two altitudes of an acute triangle
- Problem — Angle between two internal bisectors of a triangle
- Problem — Bisectors of adjacent angles are perpendicular
- Problem — Bisectors of alternate interior angles are parallel
- Problem — Bisectors of corresponding angles are parallel
- Problem — Bisectors of the base angles are congruent
- Problem — Bisectors of vertical angles
- Problem — Complements of unequal acute angles
- Problem — Congruence criterion with exterior angles
- Problem — Congruence of isosceles triangles with equal apex angle
- Problem — Congruence with the altitudes
- Problem — Consecutive supplementary angles are adjacent
- Problem — Equally spaced points on an equilateral triangle
- Problem — Halves of supplementary angles are complementary
- Problem — In a trapezoid the difference of the bases is less than the sum of the legs
- Problem — Interior angle of a regular 15-gon
- Problem — Locus of the endpoints of congruent parallel segments from a line
- Problem — Locus of the midpoints of segments from a point to a line
- Problem — Locus of the vertex of a triangle with fixed base and altitude
- Problem — Midpoints and the difference of segments
- Problem — Number of sides from the exterior angle
- Problem — The bisectors of a parallelogram form a rectangle
- Problem — The bisectors of a rectangle form a square
- Problem — The diagonals of an isosceles trapezoid are congruent
- Problem — The exterior angle at the base of an isosceles triangle is obtuse
- Problem — The median to the hypotenuse
- Problem — The midpoints of a rectangle’s sides form a rhombus
- Problem — Varignon’s parallelogram and its classifications
- Proofs using parallelism
- Sum of the interior angles of a triangle
- The bisector as a perpendicular bisector, and quadrilaterals with special diagonals
- The exterior angle is greater than the non-adjacent interior angles
- The first congruence criterion
- The five most frequent moves
- The hinge theorem
- The intercept theorem
- The parallelogram
- The perpendicular bisector as a locus
- The rectangle
- The rhombus and the bisecting diagonal
- The rhombus and the perpendicular diagonals
- The second congruence criterion
- The third congruence criterion
- Vertically opposite angles
- What a locus is
Working method — how to solve a problem
- Example — carrying out the angle-bisector proof
- Example — finding the path, the isosceles triangle
- Example — reviewing the angle-bisector proof
- Example — understanding a geometry problem
- Worked problem — the bisector of the isosceles triangle
Quadratic and fractional equations
- Inscribed rectangle of maximum area in a right triangle
- Rectangle of maximum area with a side parallel to a leg
Equivalence and Pythagoras’ theorem
- A median splits a triangle into two equal-area parts
- Equidecomposability of a triangle and a parallelogram
- Equivalence and equidecomposability
- Euclid’s first theorem, proofs and converse
- Hypotenuse, altitude and projections of the legs
- Incommensurability of the side and the altitude of an equilateral triangle
- Isosceles triangle of maximum area with fixed slant side
- Leg and altitude as a fraction of the hypotenuse
- Legs from the altitude and the ratio of the legs
- Legs of a right triangle via Pythagoras and Euclid
- Parallelogram inside a rectangle
- Pythagoras’ theorem
- Rectangle of maximum area with fixed perimeter
- Rectangle of maximum area with perimeter 16
- Rectangle of the legs and rectangle of hypotenuse and altitude
- Rhombus-shaped cake divided into three equal parts
- Sides of the triangle from a projection and the area of a square
- Square of the altitude in an equilateral triangle
- Statements of Euclid, Thales, similarity and the bisector theorem
- Sum of squared distances from a point on the diagonal
- Thales’ theorem, equidecomposability and triangle-parallelogram
- The median-length theorem and computing a median
- The midpoints of the sides create four equal-area triangles
- The square on the diagonal is double the square
- The Varignon parallelogram is half the quadrilateral
Similarity
- Euclid’s first theorem
- Euclid’s second theorem
- First similarity criterion
- Parallel through the centroid and ratio of areas
- Problem — A chord parallel to a side and the similar triangle
- Problem — A chord through the centroid parallel to a side
- Problem — Proportionality of medians, bisectors and altitudes in similar triangles
- Problem — Segments cut by the bisector on the opposite side
- Problem — Statement and proof of the angle-bisector theorem
- Problem — Thales’ theorem on a pencil of lines cut by parallels
- Problem — The shortest chord through an interior point and the geometric mean
- Proof of Euclid’s theorems
- Rectangle of maximum area in an isosceles triangle (base 5, height 8)
- Rectangle of maximum area inscribed in an isosceles triangle
- Rectangular cake divided into three parts by cuts parallel to the diagonal
- Sides of the triangle from the bisector
- Similar triangles
- The angle bisector theorem and the midpoint theorem
- The Hermit Crab problem
- Trapezoid from perpendiculars in an equilateral triangle
- Triangular cake cut into three slices of given area
Circle (Euclidean geometry)
- A chord intersecting a diameter
- Angle between a tangent and a chord
- Angle bisector theorem
- Angle inscribed in a semicircle
- Central angle and inscribed angle
- Centroid - concurrency of the medians
- Circle theory, chords, quadrilaterals and circumcenter
- Circumcentre - concurrency of the perpendicular bisectors
- Common chord of two intersecting circles
- Incentre - concurrency of the bisectors
- Inscribed rectangle of given area
- Inscribed rectangle of given perimeter
- Intersecting chords
- Intersecting chords theorem
- Isosceles trapezoid inscribed in a semicircle
- Isosceles triangle from the inradius and circumradius
- Orthocentre - concurrency of the altitudes
- Problem — Centre on the angle bisector
- Problem — Congruent chords and the diameter
- Problem — Equilateral triangle from the tangents
- Problem — Isosceles trapezoid from parallel chords
- Problem — Parallel chords and congruent arcs
- Problem — Parallel chords from the endpoints of a diameter
- Problem — Secant to two concentric circles
- Problem — Shortest chord through an interior point
- Problem — Tangent segments from an external point
- Problem — Tangents at sixty degrees
- Problem — Tangents at the endpoints of a diameter
- Problem — Triple central angle
- Proof of the central angle theorem
- Rhombus cake with the inscribed circle removed
- Right triangle from the inradius and circumradius
- Square inscribed in a square with 30 and 60 degree angles
- Square with known diagonals
- Tangents from an external point
- The four notable points
- Triangle with sides tangent to a circle
Triangle trigonometry
- Angle bisector theorem via the sine rule
- Side of an inscribed regular polygon
- Solving a triangle with the law of cosines
- Trigonometry in right-angled triangles
Synthetic geometry in space
- Dihedral angle between face and base
- Dihedral angle in the cube
- Euler’s formula
- Euler’s formula for the pentagonal prism
- Line perpendicular to a plane
- Prisms and parallelepipeds
- Sphere inscribed in a cone
- Thales’ theorem in space
- The cube - diagonal and hexagonal cross-section
- The dihedral angle and the normal section
- The five Platonic solids
- The pyramid
- Theorem of the three perpendiculars
Derivatives
- Cylinder inscribed in a cone
- Rectangle inscribed in a semicircle
- Trapezium inscribed in a semicircle