Angolo diedro

Quando due semipiani si incontrano lungo una retta comune formano un angolo diedro. Per misurarlo si riconduce il problema al piano tramite la sezione normale. Un esempio classico è l’angolo diedro tra una faccia obliqua e la base di un cubo.

• L’angolo diedro e la sezione normale
• Angolo diedro nel cubo

When two half-planes meet along a common line they form a dihedral angle. To measure it one reduces the problem to the plane by means of the normal section. A classic example is the dihedral angle between an oblique face and the base of a cube.

• The dihedral angle and the normal section
• Dihedral angle in the cube

Come si misura l‘“apertura” tra due semipiani nello spazio? Si introduce l’angolo diedro e lo si riporta a un angolo piano.

Definizione — Angolo diedro

Un angolo diedro è la porzione di spazio delimitata da due semipiani aventi una retta in comune, detta spigolo del diedro. Per misurarlo si conduce un piano $\perp$ allo spigolo: questo taglia i due semipiani lungo due semirette, e l’angolo così individuato è la sezione normale. La sua ampiezza è, per definizione, la misura del diedro.

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Angolo diedro · Sezione normale
Competenze: Geometria sintetica

How does one measure the “opening” between two half-planes in space? One introduces the dihedral angle and reduces it to a plane angle.

Definition — Dihedral angle

A dihedral angle is the portion of space bounded by two half-planes having a line in common, called the edge of the dihedron. To measure it one draws a plane $\perp$ to the edge: this cuts the two half-planes along two rays, and the angle thus identified is the normal section. Its magnitude is, by definition, the measure of the dihedral angle.

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Topics: Synthetic geometry in space
Concepts: Dihedral angle · Normal section
Skills: Synthetic geometry

Vediamo la sezione normale all’opera in un caso concreto.

Esempio — Angolo diedro nel cubo

In un cubo $ABCDEFGH$ di lato $\ell=2$ consideriamo il piano $NMBD$, dove $N$ e $M$ sono i punti medi di due spigoli superiori. L’angolo diedro tra il piano $NMBD$ e la base $ABCD$ si misura conducendo un piano $\perp$ alla retta di intersezione $BD$ e calcolando l’angolo tra le tracce.

Con il teorema di Pitagora: $BD = 2\sqrt{2}, \qquad NM = \sqrt{5}, \qquad DN = \sqrt{5}.$ L’angolo diedro risulta $\alpha = \arctan(\sqrt{2}) \approx 70{,}5°.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Angolo diedro · Sezione normale
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica

Let us see the normal section at work in a concrete case.

Example — Dihedral angle in the cube

In a cube $ABCDEFGH$ with side $\ell=2$ consider the plane $NMBD$, where $N$ and $M$ are the midpoints of two upper edges. The dihedral angle between the plane $NMBD$ and the base $ABCD$ is measured by drawing a plane $\perp$ to the line of intersection $BD$ and calculating the angle between the traces.

By Pythagoras’ theorem: $BD = 2\sqrt{2}, \qquad NM = \sqrt{5}, \qquad DN = \sqrt{5}.$ The dihedral angle turns out to be $\alpha = \arctan(\sqrt{2}) \approx 70{,}5°.$

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