Risolvere disequazioni

Competenza — Risolvere disequazioni.

Presente nei capitoli

11 · 12 · 13 · 17 · 18 · 23 · 25 · 26 · 27 · 31 · 32

Atomi collegati

160 atomi collegati.

11 Disequazioni

• Caso a negativo, Delta negativo — sempre negativa
• Caso a negativo, Delta positivo
• Caso a positivo, Delta positivo
• Caso Delta negativo — parabola sempre positiva
• Caso Delta zero — parabola tangente
• Catena di disequazioni
• Costruire una disequazione data la tabella dei segni
• Disequazione $(x-1)^2(x+2)<0$
• Disequazione $|2x-1|<|x+3|$
• Disequazione $|x-3|+|x+2|\le 9$
• Disequazione biquadratica $x^4-5x^2+4\ge 0$
• Disequazione con un fattore quadratico
• Disequazione con valore assoluto $|3x-2|\le 7$
• Disequazione con valore assoluto $|x+4|>5$
• Disequazione di primo grado
• Disequazione di secondo grado (soluzioni esterne)
• Disequazione di secondo grado (soluzioni interne)
• Disequazione di secondo grado $-x^2+4x-3\ge 0$
• Disequazione di secondo grado $3x^2-5x-2>0$
• Disequazione di terzo grado
• Disequazione di terzo grado $x^3-4x<0$
• Disequazione doppia
• Disequazione fratta
• (x+3)
• (1−2x)
• Disequazione fratta $\dfrac{1}{x-2}<3$
• Disequazione fratta $\dfrac{2x+3}{x-4}<1$
• Disequazione fratta $\dfrac{x-2}{x+1}\ge 0$
• Disequazione fratta $\dfrac{x^2-9}{x+1}\le 0$
• (1+x)
• (2−x) ≥ 1
• Disequazione fratta con denominatore comune
• Disequazione fratta di primo grado
• Disequazione fratta semplice
• (1−2x)
• Disequazione lineare
• Disequazioni con valore assoluto e fratte
• Disequazioni con valore assoluto e studio del segno
• Disequazioni di grado superiore e fratte
• Disequazioni di primo e secondo grado
• Disequazioni di secondo grado e fratte
• Disequazioni di secondo grado e fratte (variante)
• Disequazioni fratte (II)
• Disequazioni fratte con studio del segno
• Disequazioni fratte con tabella dei segni
• Disequazioni intere di vario grado
• Disequazioni intere e prodotto di fattori
• Disequazioni intere, fratte e di terzo grado
• Equazioni e disequazioni di secondo grado con studio del segno
• Esempi di disequazioni di primo grado
• Fattori sempre dello stesso segno
• Il metodo della tabella dei segni
• Interi con radice compresa
• Inventa una disequazione dato il risultato (I)
• Inventa una disequazione dato il risultato (II)
• Inventare una disequazione dato il risultato
• Libri e budget
• Massimo con vincoli lineari
• Principi di equivalenza e cambio di verso
• Procedura compatta per le disequazioni di secondo grado
• Sistema $\{|x|<3;\ x^2-x-2>0\}$
• Sistema con tre condizioni
• Sistema di disequazioni $\{2x-3<5;\ x^2-x-6\ge 0\}$
• Sistema di disequazioni $\{x^2-16<0;\ x-1>0\}$
• Sistema di due disequazioni
• Una disequazione completa dall’inizio alla fine
• Una disequazione letterale tipica

12 La parabola

• Casi misti con due valori assoluti
• Caso particolare - modulo maggiore o uguale a B(x)
• Caso particolare - modulo minore o uguale a B(x)
• Disequazione con due moduli per quadratura (|x| < |x-1|)
• Disequazione con moduli a cinque zeri
• Disequazione con moduli e quadrati (|x²-4| > |x-2|)
• Disequazione con modulo di trinomio (|x²-5x+6| ≥ 2x-3)
• (x-2) ≤ 0)
• Metodo generale dello sdoppiamento
• Modulo di 3x+2 minore di 5 (|3x+2| < 5)
• Modulo di x-2 minore o uguale a x+1 (|x-2| ≤ x+1)
• Modulo di x²-1 maggiore o uguale a 3 (|x²-1| ≥ 3)
• Parabola esterna a una retta al variare di un parametro
• Somma di due moduli minore o uguale a 6 (|x-1|+|x+2| ≤ 6)
• Somma di tre moduli minore di 4 (|x|+|x-1|+|x-2| < 4)

13 Radicali ed equazioni irrazionali

• Disequazione con due radici
• Disequazione non stretta
• Disequazione radice maggiore
• Disequazione radice minore
• Tipologia I — radice maggiore
• Tipologia II — radice minore

17 Disequazioni irrazionali

• Disequazione irrazionale $\sqrt{2x+1}<x-1$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x-2}\ge 4$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x+1}>\sqrt{x+5}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{4-x}\le x+2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-1}>x-3$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-2}\ge\sqrt{4-x}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-3x}\le 2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-5}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+3}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+5}\ge x-1$
• Disequazioni con radicali, moduli e frazioni
• Elevare al quadrato senza sdoppiare
• Equazioni e disequazioni miste con radicali e moduli
• Esempio — due radicali a confronto
• Esempio — radice maggiore di una retta
• Esempio — radice minore di una retta
• Esempio completo con la retta dei segni
• Esercizio svolto — Disequazione fratta con radicale
• Esercizio svolto — Radice contro valore assoluto
• Esercizio svolto — Somma di due radicali
• Esercizio svolto — Tipologia I con radice stretta
• Esercizio svolto — Tipologia II con semicirconferenza
• Il metodo per la radice maggiore — Tipologia II
• Il metodo per la radice minore — Tipologia I
• La strategia della tabella del segno
• Mappa decisionale — che tipo di disequazione ho davanti?
• Promemoria sulle condizioni di esistenza
• Riconoscere le somme sempre non negative
• Sei disequazioni irrazionali

18 Fasci di rette

• Esempio — Distanza fissata

23 Funzioni, linguaggio e proprietà

• Dominio con radice al denominatore
• Dominio di una radice di frazione

25 Funzione esponenziale

• Disequazione esponenziale
• Disequazione esponenziale con base minore di uno
• Disequazioni esponenziali con le proprietà
• Due disequazioni esponenziali
• Due disequazioni esponenziali
• Esempi guidati con base minore di 1
• I casi banali dell’esponenziale positiva
• La regola dei versi
• Numero di dimezzamenti
• Tre disequazioni esponenziali

26 Funzione logaritmica

• Casi base con base minore di 1
• Disequazione logaritmica base minore di 1
• Disequazione razionale esponenziale-logaritmica
• Disequazioni con potenze e logaritmi
• Regola del verso nelle disequazioni

27 Metodi unificanti per equazioni e disequazioni

• Disequazione con valore assoluto
• Disequazione irrazionale
• Disequazione logaritmica
• Disequazioni esponenziali e logaritmiche
• Idea 1: sostituzione
• Idea 3: applicazione di una funzione monotona (disequazioni)
• Idea 4: studio del segno
• Una checklist per l’esame orale

31 Equazioni goniometriche

• Equazioni e disequazioni goniometriche assortite

32 Disequazioni goniometriche

• Disequazione con fattore lineare in seno e coseno e tangente
• Disequazione con la tangente al quadrato
• Disequazione elementare con il seno
• Disequazione elementare con la tangente
• Disequazione omogenea di secondo grado ricondotta a lineare
• Disequazione riconducibile al coseno
• Disequazioni con valore assoluto e radici
• Disequazioni elementari con la tangente
• Disequazioni elementari con seno e coseno
• Disequazioni goniometriche con studio del segno
• Disequazioni goniometriche, frazionarie e logaritmica
• Il metodo dello studio del segno
• Prodotto di fattori con tabella del segno
• Prodotto di fattori e tabella del segno
• Scomposizione con la duplicazione
• Valore assoluto del coseno

Skill — Solving inequalities.

Featured in chapters

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Linked atoms

160 linked atoms.

Inequalities

• A chain of inequalities
• A complete inequality from start to finish
• A double inequality
• A linear inequality
• A quadratic inequality (external solutions)
• A quadratic inequality (internal solutions)
• A rational inequality
• A typical literal inequality
• Absolute-value and fractional inequalities
• Absolute-value inequalities and sign study
• Books and budget
• Case a negative, Delta negative — always negative
• Case a negative, Delta positive
• Case a positive, Delta positive
• Case Delta negative — parabola always positive
• Case Delta zero — tangent parabola
• Compact procedure for second-degree inequalities
• Constructing an inequality given the sign table
• Disequazione $(x-1)^2(x+2)<0$
• Disequazione $|2x-1|<|x+3|$
• Disequazione $|x-3|+|x+2|\le 9$
• Disequazione biquadratica $x^4-5x^2+4\ge 0$
• Disequazione con valore assoluto $|3x-2|\le 7$
• Disequazione con valore assoluto $|x+4|>5$
• Disequazione di secondo grado $-x^2+4x-3\ge 0$
• Disequazione di secondo grado $3x^2-5x-2>0$
• Disequazione di terzo grado $x^3-4x<0$
• Disequazione fratta $\dfrac{1}{x-2}<3$
• Disequazione fratta $\dfrac{2x+3}{x-4}<1$
• Disequazione fratta $\dfrac{x-2}{x+1}\ge 0$
• Disequazione fratta $\dfrac{x^2-9}{x+1}\le 0$
• Equivalence principles and sign reversal
• Examples of first-degree inequalities
• Factors always of the same sign
• First- and second-degree inequalities
• First-degree fractional inequality
• Fractional inequalities (II)
• Fractional inequalities with sign analysis
• (x+3)
• (1−2x)
• (1+x)
• (2−x) ≥ 1
• Fractional inequality with a common denominator
• (1−2x)
• Higher-degree and fractional inequalities
• Inequality with a quadratic factor
• Integer inequalities and product of factors
• Integer inequalities of various degrees
• Integers with a bounded square root
• Invent an inequality given its solution (I)
• Invent an inequality given its solution (II)
• Inventing an inequality given its solution set
• Linear inequality
• Maximum under linear constraints
• Polynomial, fractional and cubic inequalities
• Rational inequalities with a sign table
• Second-degree and fractional inequalities
• Second-degree and fractional inequalities (variant)
• Second-degree equations and inequalities via sign study
• Simple fractional inequality
• Sistema $\{|x|<3;\ x^2-x-2>0\}$
• Sistema di disequazioni $\{2x-3<5;\ x^2-x-6\ge 0\}$
• Sistema di disequazioni $\{x^2-16<0;\ x-1>0\}$
• System of two inequalities
• System with three conditions
• The sign-table method
• Third-degree inequality

The parabola

• Absolute value of 3x+2 less than 5 (|3x+2| < 5)
• Absolute value of x-2 less than or equal to x+1 (|x-2| ≤ x+1)
• Absolute value of x²-1 greater than or equal to 3 (|x²-1| ≥ 3)
• Absolute-value inequality with five zeros
• (x-2) ≤ 0)
• General splitting method
• Inequality with absolute values and squares (|x²-4| > |x-2|)
• Inequality with the absolute value of a trinomial (|x²-5x+6| ≥ 2x-3)
• Inequality with two absolute values by squaring (|x| < |x-1|)
• Mixed cases with two absolute values
• Parabola disjoint from a line as a parameter varies
• Special case - modulus greater than or equal to B(x)
• Special case - modulus less than or equal to B(x)
• Sum of three absolute values less than 4 (|x|+|x-1|+|x-2| < 4)
• Sum of two absolute values less than or equal to 6 (|x-1|+|x+2| ≤ 6)

Surds and irrational equations

• Inequality with the root on the greater side
• Inequality with the root on the smaller side
• Inequality with two roots
• Non-strict inequality
• Type I — root greater
• Type II — root smaller

Irrational inequalities

• A complete example with the sign line
• A reminder about the existence conditions
• Decision map — what type of inequality am I facing?
• Disequazione irrazionale $\sqrt{2x+1}<x-1$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x-2}\ge 4$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{3x+1}>\sqrt{x+5}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{4-x}\le x+2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-1}>x-3$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x-2}\ge\sqrt{4-x}$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-3x}\le 2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x^2-5}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+3}<2$
• Disequazione irrazionale $\sqrt{x+5}\ge x-1$
• Example — root larger than a line
• Example — root smaller than a line
• Example — two radicals compared
• Inequalities with radicals, absolute values and fractions
• Mixed equations and inequalities with radicals and absolute values
• Recognising always-non-negative sums
• Six irrational inequalities
• Squaring without splitting into cases
• The method for the larger root — Type II
• The method for the smaller root — Type I
• The sign-table strategy
• Worked exercise — Fractional inequality with a radical
• Worked exercise — Root versus absolute value
• Worked exercise — Sum of two radicals
• Worked exercise — Type I with a strict root
• Worked exercise — Type II with a semicircle

Pencils of lines

• Example — Fixed distance

Functions: language and properties

• Domain of a root of a fraction
• Domain with a radical denominator

Exponential function

• Exponential inequalities using the properties
• Exponential inequality
• Exponential inequality with base below one
• Guided examples with base less than 1
• Number of half-lives
• The rule of the direction
• The trivial cases of the positive exponential
• Three exponential inequalities
• Two exponential inequalities
• Two exponential inequalities

Logarithmic function

• Basic cases with base less than 1
• Inequalities with powers and logarithms
• Logarithmic inequality with base less than 1
• Rational exponential-logarithmic inequality
• Rule for the direction in inequalities

Unifying methods for equations and inequalities

• A checklist for the oral exam
• Exponential and logarithmic inequalities
• Idea 1: substitution
• Idea 3: applying a monotonic function (inequalities)
• Idea 4: sign analysis
• Inequality with absolute value
• Irrational inequality
• Logarithmic inequality

Trigonometric equations

• Assorted trigonometric equations and inequalities

Trigonometric inequalities

• Absolute value of the cosine
• Assorted trigonometric, fractional and logarithmic inequalities
• Elementary inequalities with sine and cosine
• Elementary inequalities with the tangent
• Elementary inequality with the sine
• Elementary inequality with the tangent
• Factorisation with the double-angle formula
• Homogeneous second-degree inequality reduced to linear form
• Inequalities with absolute value and roots
• Inequality reducible to the cosine
• Inequality with a linear sine-cosine factor and a tangent
• Inequality with the tangent squared
• Product of factors and sign table
• Product of factors with sign table
• The sign-study method
• Trigonometric inequalities with sign analysis