Matematica — Liceo

Disequazioni fratte con radicali — studio del segno

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tagsmatematica, classe/terza, topic/disequazioni-irrazionali, moc, concept/disequazione-irrazionale, concept/disequazione-fratta, concept/tabella-del-segno, concept/condizioni-di-esistenza, method/studio-del-segno, skill/risolvere-disequazioni, method/disequazione-irrazionale-casistica, skill/interpretare-grafico

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Il caso più ricco è quello in cui la disequazione coinvolge un rapporto di espressioni con radicali, del tipo N(x)D(x)≤0\frac{N(x)}{D(x)}\le 0. La strategia è la stessa delle disequazioni fratte studiate in Seconda: CE globali, studio separato dei segni, tabella del segno, intersezione finale.

The richest case is the one in which the inequality involves a ratio of expressions with radicals, of the type N(x)D(x)≤0\frac{N(x)}{D(x)}\le 0. The strategy is the same as for the fractional inequalities studied in the second year: overall existence conditions, separate study of the signs, sign table, final intersection.

Il caso più ricco è quello in cui la disequazione coinvolge un rapporto di espressioni con radicali, del tipo N(x)D(x)≤0\frac{N(x)}{D(x)}\le 0. Come per le disequazioni fratte studiate in Seconda, la strategia è sempre la stessa.

Teorema — Strategia per le disequazioni fratte con radicali

  1. Scrivere le CE globali (sia sui radicali sia sul fatto che il denominatore non si annulli).
  2. Studiare separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore.
  3. Combinarli in una tabella del segno.
  4. Intersecare con le CE per produrre la soluzione finale.

Lo studio del segno di un singolo fattore (a numeratore o a denominatore) è quasi sempre una disequazione di Tipologia I o II, oppure un caso “scorciatoia” delle sezioni precedenti: le tecniche viste finora diventano i mattoni con cui si costruisce lo studio del segno complessivo.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione fratta · Disequazione irrazionale · Tabella del segno
Metodi: Studio del segno
Competenze: Risolvere disequazioni

The richest case is the one in which the inequality involves a ratio of expressions with radicals, of the form N(x)D(x)≤0\frac{N(x)}{D(x)}\le 0. As with the fractional inequalities studied in Year 2, the strategy is always the same.

Theorem — Strategy for fractional inequalities with radicals

  1. Write the global existence conditions (both on the radicals and on the fact that the denominator does not vanish).
  2. Study separately the sign of the numerator and that of the denominator.
  3. Combine them in a sign table.
  4. Intersect with the existence conditions to produce the final solution.

The sign study of a single factor (in the numerator or the denominator) is almost always a Type I or Type II inequality, or a “shortcut” case from the previous sections: the techniques seen so far become the building blocks with which the overall sign study is constructed.

Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Fractional inequality · Irrational inequality · Sign table
Methods: Sign study
Skills: Solving inequalities

Un esercizio completo che mette insieme il metodo di Tipologia I e l’intersezione grafica degli intervalli sulla retta dei segni.

Esempio — x2+3x−4+x2−2≤0\sqrt{x^2+3x-4} + \dfrac{x}{2} - 2 \le 0

Isoliamo la radice: qui non c’è alcun denominatore con la xx, quindi la portiamo direttamente al primo membro. x2+3x−4≤2−x2=4−x2.\sqrt{x^2+3x-4} \le 2 - \tfrac{x}{2} = \tfrac{4-x}{2}. È una Tipologia I. Sistema equivalente: {x2+3x−4≥0(CE della radice)4−x2≥0(secondo membro ≥0)x2+3x−4≤(4−x2)2(elevamento)\begin{cases} x^2+3x-4 \ge 0 & \text{(CE della radice)} \\ \tfrac{4-x}{2} \ge 0 & \text{(secondo membro } \ge 0) \\ x^2+3x-4 \le \left(\tfrac{4-x}{2}\right)^2 & \text{(elevamento)} \end{cases}

Prima disequazione: x2+3x−4=(x+4)(x−1)≥0  ⟹  x≤−4∨x≥1x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0 \implies x\le -4 \vee x\ge 1.

Seconda disequazione: 4−x≥0  ⟹  x≤44-x\ge 0 \implies x\le 4.

Terza disequazione: sviluppiamo il quadrato x2+3x−4≤16−8x+x24x^2+3x-4 \le \tfrac{16-8x+x^2}{4} e moltiplichiamo per 44 (positivo, verso conservato): 4x2+12x−16≤16−8x+x2  ⟹  3x2+20x−32≤0.4x^2+12x-16 \le 16-8x+x^2 \implies 3x^2+20x-32 \le 0. Risolvo l’equazione associata 3x2+20x−32=03x^2+20x-32=0: Δ=400+384=784=282,x1,2=−20±286  ⟹  x1=−8, x2=43.\Delta = 400+384=784=28^2, \quad x_{1,2}=\frac{-20\pm 28}{6} \implies x_1=-8,\ x_2=\tfrac{4}{3}. Dunque 3x2+20x−32≤03x^2+20x-32\le 0 per −8≤x≤43-8\le x\le \tfrac{4}{3}.

Intersezione delle tre: (x≤−4∨x≥1) ∧ x≤4 ∧ −8≤x≤43\bigl(x\le -4 \vee x\ge 1\bigr) \ \wedge\ x\le 4 \ \wedge\ -8\le x\le \tfrac{4}{3}.

Soluzione:  −8≤x≤−4 ∨ 1≤x≤43 \boxed{\,-8\le x\le -4 \ \vee\ 1\le x\le \tfrac{4}{3}\,}.

La retta dei segni rende visibile l’intersezione: si riportano le tre condizioni una sopra l’altra e si prende la zona comune a tutte.

Le tre condizioni sovrapposte sulla retta dei segni; in arancione l’intersezione, −8≤x≤−4-8\le x\le -4 e 1≤x≤431\le x\le \tfrac{4}{3}.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Tabella del segno
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Studio del segno
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

A complete exercise that brings together the Type I method and the graphical intersection of the intervals on the sign line.

Example — x2+3x−4+x2−2≤0\sqrt{x^2+3x-4} + \dfrac{x}{2} - 2 \le 0

Let us isolate the root: here there is no denominator containing xx, so we move it straight to the left-hand side. x2+3x−4≤2−x2=4−x2.\sqrt{x^2+3x-4} \le 2 - \tfrac{x}{2} = \tfrac{4-x}{2}. It is a Type I. Equivalent system: {x2+3x−4≥0(CE della radice)4−x2≥0(secondo membro ≥0)x2+3x−4≤(4−x2)2(elevamento)\begin{cases} x^2+3x-4 \ge 0 & \text{(CE della radice)} \\ \tfrac{4-x}{2} \ge 0 & \text{(secondo membro } \ge 0) \\ x^2+3x-4 \le \left(\tfrac{4-x}{2}\right)^2 & \text{(elevamento)} \end{cases}

First inequality: x2+3x−4=(x+4)(x−1)≥0  ⟹  x≤−4∨x≥1x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0 \implies x\le -4 \vee x\ge 1.

Second inequality: 4−x≥0  ⟹  x≤44-x\ge 0 \implies x\le 4.

Third inequality: we expand the square x2+3x−4≤16−8x+x24x^2+3x-4 \le \tfrac{16-8x+x^2}{4} and multiply by 44 (positive, direction preserved): 4x2+12x−16≤16−8x+x2  ⟹  3x2+20x−32≤0.4x^2+12x-16 \le 16-8x+x^2 \implies 3x^2+20x-32 \le 0. I solve the associated equation 3x2+20x−32=03x^2+20x-32=0: Δ=400+384=784=282,x1,2=−20±286  ⟹  x1=−8, x2=43.\Delta = 400+384=784=28^2, \quad x_{1,2}=\frac{-20\pm 28}{6} \implies x_1=-8,\ x_2=\tfrac{4}{3}. Hence 3x2+20x−32≤03x^2+20x-32\le 0 for −8≤x≤43-8\le x\le \tfrac{4}{3}.

Intersection of the three: (x≤−4∨x≥1) ∧ x≤4 ∧ −8≤x≤43\bigl(x\le -4 \vee x\ge 1\bigr) \ \wedge\ x\le 4 \ \wedge\ -8\le x\le \tfrac{4}{3}.

Solution:  −8≤x≤−4 ∨ 1≤x≤43 \boxed{\,-8\le x\le -4 \ \vee\ 1\le x\le \tfrac{4}{3}\,}.

The sign line makes the intersection visible: the three conditions are drawn one above the other and the zone common to all of them is taken.

The three conditions superimposed on the sign line; in orange the intersection, −8≤x≤−4-8\le x\le -4 and 1≤x≤431\le x\le \tfrac{4}{3}.

Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality · Sign table
Methods: Irrational inequality by cases · Sign study
Skills: Interpreting a graph · Solving inequalities

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