Sistemi di disequazioni

Quando si devono soddisfare contemporaneamente due o più disequazioni, si parla di sistema di disequazioni. La soluzione è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: si rappresentano graficamente sulla retta reale e si prendono i tratti in comune.

• Sistema di due disequazioni
• Sistema con tre condizioni

When two or more inequalities must be satisfied simultaneously, we speak of a system of inequalities. The solution is the intersection of the solutions of the individual inequalities: they are represented graphically on the real line and the stretches they have in common are taken.

• System of two inequalities
• System with three conditions

Quando si devono soddisfare contemporaneamente due o più disequazioni, si parla di sistema di disequazioni. La soluzione è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: si rappresentano sulla retta reale e si prendono i tratti in comune.

Esempio — Sistema di due disequazioni

Risolvere il sistema $\begin{cases} x^2-4 > 0 \\ x-1 < 0 \end{cases}$

D$_1$: $x^2-4>0 \iff (x-2)(x+2)>0 \iff x<-2 \;\text{oppure}\; x>2$.

D$_2$: $x<1$.

Rappresentazione grafica delle soluzioni:

La soluzione del sistema (S) è l’intersezione dei tratti di D$_1$ e D$_2$.

Soluzione: $\boxed{x<-2}$.

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Intervallo · Sistema di disequazioni
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni · Risolvere sistemi

When two or more inequalities must be satisfied simultaneously, we speak of a system of inequalities. The solution is the intersection of the solutions of the individual inequalities: they are represented on the real line and the common stretches are taken.

Example — System of two inequalities

Solve the system $\begin{cases} x^2-4 > 0 \\ x-1 < 0 \end{cases}$

D$_1$: $x^2-4>0 \iff (x-2)(x+2)>0 \iff x<-2 \;\text{or}\; x>2$.

D$_2$: $x<1$.

Graphical representation of the solutions:

The solution of the system (S) is the intersection of the stretches of D$_1$ and D$_2$.

Solution: $\boxed{x<-2}$.

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Topics: Inequalities
Concepts: Interval · System of inequalities
Skills: Interpreting a graph · Solving inequalities · Solving systems

Con tre condizioni il procedimento non cambia: si risolvono le singole disequazioni, si tracciano sulla retta reale e si cerca l’unico tratto comune a tutte.

Esempio — Sistema con tre condizioni

Risolvere $\begin{cases} x^2-x-6 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x-5 < 0 \end{cases}$

D$_1$: $(x-3)(x+2)\ge 0 \iff x\le -2 \;\text{oppure}\; x\ge 3$.

D$_2$: $x>-1$. D$_3$: $x<5$.

L’unico tratto comune alle tre condizioni è l’intervallo $[3,5)$.

Soluzione: l’unico tratto comune è $\boxed{3\le x < 5}$.

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With three conditions the procedure does not change: you solve the individual inequalities, mark them on the real line and look for the single stretch common to all of them.

Example — System with three conditions

Solve $\begin{cases} x^2-x-6 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x-5 < 0 \end{cases}$

D$_1$: $(x-3)(x+2)\ge 0 \iff x\le -2 \;\text{oppure}\; x\ge 3$.

D$_2$: $x>-1$. D$_3$: $x<5$.

The only stretch common to the three conditions is the interval $[3,5)$.

Solution: the only common stretch is $\boxed{3\le x < 5}$.

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