Disequazioni elementari

Le disequazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo $\sin x \ge k$, $\cos x \ge k$, $\tan x \ge k$ (e le analoghe con $\le$, $<$, $>$). Si risolvono senza calcoli, leggendo direttamente sulla circonferenza goniometrica quali archi soddisfano la condizione: gli angoli sopra o sotto una retta orizzontale per il seno, a destra o a sinistra di una retta verticale per il coseno, e sull’asse delle tangenti per la tangente.

• Disequazioni elementari con seno e coseno
• Disequazioni elementari con la tangente

Elementary trigonometric inequalities are those of the type $\sin x \ge k$, $\cos x \ge k$, $\tan x \ge k$ (and the analogous ones with $\le$, $<$, $>$). They are solved without calculations, by reading directly on the unit circle which arcs satisfy the condition: the angles above or below a horizontal line for the sine, to the right or to the left of a vertical line for the cosine, and on the axis of tangents for the tangent.

• Elementary inequalities with sine and cosine
• Elementary inequalities with the tangent

Le disequazioni goniometriche più semplici si leggono direttamente dalla circonferenza goniometrica, senza bisogno di alcun calcolo: basta individuare gli archi che corrispondono ai punti che soddisfano la condizione.

In sintesi — Disequazioni elementari

Si leggono direttamente dalla circonferenza goniometrica.

• $\sin x \ge k$ (con $|k|\le 1$): sono gli angoli corrispondenti ai punti della circonferenza sopra la retta orizzontale $y=k$. La soluzione, nell’intervallo $[0,2\pi)$, è un arco; va poi generalizzata aggiungendo $2k_1\pi$.
• $\cos x \ge k$ (con $|k|\le 1$): i punti a destra della retta verticale $x=k$.

Per una disequazione con il seno si traccia la retta orizzontale $y=k$: la condizione $\sin x \ge k$ è soddisfatta dai punti della circonferenza che stanno sopra quella retta.

La disequazione $\sin x \ge 1/2$, nell’intervallo $[0,2\pi)$, ha per soluzione l’arco verde sopra la retta $y=1/2$, cioè $x\in\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Per il coseno il ragionamento è del tutto analogo, ma con una retta verticale $x=k$: la condizione $\cos x \ge k$ vale per i punti a destra della retta, la condizione $\cos x \le k$ per i punti a sinistra.

Esempio

Risolvere $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ in $[0,2\pi)$.

I valori di $x$ per cui $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sono $\dfrac{3\pi}{4}$ e $\dfrac{5\pi}{4}$. La disequazione $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ richiede i punti della circonferenza goniometrica a sinistra della retta verticale $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: è l’arco da $\dfrac{3\pi}{4}$ a $\dfrac{5\pi}{4}$ (escluse le estremità). $x\in\left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\ \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right)$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Disequazione goniometrica · Disequazione goniometrica lettura circonferenza
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche disequazioni
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

The simplest trigonometric inequalities are read directly off the trigonometric circle, with no calculation needed: it is enough to identify the arcs corresponding to the points that satisfy the condition.

In summary — Elementary inequalities

They are read directly off the trigonometric circle.

• $\sin x \ge k$ (with $|k|\le 1$): these are the angles corresponding to the points of the circle above the horizontal line $y=k$. The solution, on the interval $[0,2\pi)$, is an arc; it must then be generalised by adding $2k_1\pi$.
• $\cos x \ge k$ (with $|k|\le 1$): the points to the right of the vertical line $x=k$.

For an inequality with the sine one draws the horizontal line $y=k$: the condition $\sin x \ge k$ is satisfied by the points of the circle lying above that line.

The inequality $\sin x \ge 1/2$, on the interval $[0,2\pi)$, has as its solution the green arc above the line $y=1/2$, that is $x\in\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

For the cosine the reasoning is entirely analogous, but with a vertical line $x=k$: the condition $\cos x \ge k$ holds for the points to the right of the line, the condition $\cos x \le k$ for the points to the left.

Example

Solve $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ on $[0,2\pi)$.

The values of $x$ for which $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ are $\dfrac{3\pi}{4}$ and $\dfrac{5\pi}{4}$. The inequality $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ requires the points of the trigonometric circle to the left of the vertical line $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: it is the arc from $\dfrac{3\pi}{4}$ to $\dfrac{5\pi}{4}$ (endpoints excluded). $x\in\left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\ \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right)$

Links

Topics: Trigonometric inequalities
Concepts: Trigonometric circle · Trigonometric inequality · Reading a trigonometric inequality on the circle
Functions: Cosine · Sine
Methods: Trigonometric inequalities
Skills: Interpreting a graph · Solving inequalities

Per una disequazione con la tangente, del tipo $\tan x \ge k$, si usa il grafico della tangente oppure la retta “tangente” alla circonferenza nel punto $(1;0)$: l’asse delle tangenti, cioè la retta verticale $x=1$.

Su questo asse il valore $\tan x$ si legge come l’ordinata del punto in cui la retta $OP_x$ (prolungata) incontra la retta $x=1$.

Lettura per $\tan x > 1$: si ha $\tan x = 1$ in $\dfrac{\pi}{4}$ (arcotangente di $1$); la disequazione è verificata negli archi verdi, dove il punto di intersezione con l’asse delle tangenti ha ordinata maggiore di $1$.

Poiché la tangente ha periodo $\pi$ (non $2\pi$), la soluzione si generalizza aggiungendo $k\pi$: la condizione si ripete due volte per ogni giro completo della circonferenza.

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Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Disequazione goniometrica · Disequazione goniometrica lettura circonferenza
Funzioni: Tangente
Metodi: Goniometriche disequazioni
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni

For an inequality with the tangent, of the type $\tan x \ge k$, one uses the graph of the tangent or the line “tangent” to the circle at the point $(1;0)$: the axis of tangents, that is the vertical line $x=1$.

On this axis the value $\tan x$ is read as the ordinate of the point where the line $OP_x$ (extended) meets the line $x=1$.

Reading for $\tan x > 1$: we have $\tan x = 1$ at $\dfrac{\pi}{4}$ (arctangent of $1$); the inequality is satisfied on the green arcs, where the point of intersection with the axis of tangents has ordinate greater than $1$.

Since the tangent has period $\pi$ (not $2\pi$), the solution is generalised by adding $k\pi$: the condition repeats twice for every complete turn of the circle.

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Topics: Trigonometric inequalities
Concepts: Unit circle · Trigonometric inequality · Trigonometric inequality reading the circle
Functions: Tangent
Methods: Trigonometric inequalities
Skills: Interpreting a graph · Solving inequalities