Scomposizione e razionalizzazione

Due tecniche algebriche risolvono molte forme indeterminate. La scomposizione in fattori mette in luce e semplifica il fattore che causa la forma $0/0$; la razionalizzazione (moltiplicazione per il coniugato) è lo strumento tipico per le forme $\infty-\infty$ con radici.

• Scomposizione in fattori
• Razionalizzazione

Two algebraic techniques resolve many indeterminate forms. Factorisation brings out and cancels the factor causing the $0/0$ form; rationalisation (multiplying by the conjugate) is the typical tool for $\infty-\infty$ forms with roots.

• Factorisation
• Rationalisation

Nelle forme $0/0$ con espressioni polinomiali (o riconducibili a polinomi), la strada tipica è scomporre numeratore e denominatore per far comparire — e poi semplificare — il fattore che si annulla.

Esempio — Scomposizione (forma $0/0$)

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.$

Il fattore $(x-2)$, responsabile della forma $0/0$, compare sia sopra sia sotto: dopo la semplificazione resta un’espressione continua, in cui basta sostituire $x=2$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti · Scomporre

In $0/0$ forms with polynomial expressions (or ones reducible to polynomials), the typical approach is to factorise the numerator and denominator so as to bring out — and then cancel — the factor that vanishes.

Example — Factorisation ( $0/0$ form)

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.$

The factor $(x-2)$, responsible for the $0/0$ form, appears both above and below: after cancelling, a continuous expression remains, into which it suffices to substitute $x=2$.

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Topics: Limits
Concepts: Indeterminate forms
Skills: Calculating limits · Factorising

Quando compaiono radici in una forma $\infty-\infty$, moltiplicare e dividere per il coniugato elimina la differenza di radici e rende la forma trattabile.

Esempio — Razionalizzazione (forma $\infty-\infty$)

$\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr).$ Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato $\sqrt{x^2+x}+x$: $= \lim\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim\frac{x}{x\left(\sqrt{1+1/x}+1\right)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.$

Dopo la razionalizzazione, raccogliendo $x$ (per $x\to+\infty$) sotto la radice e a denominatore, la forma indeterminata si scioglie in un valore finito.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti

When roots appear in an $\infty-\infty$ form, multiplying and dividing by the conjugate eliminates the difference of roots and makes the form tractable.

Example — Rationalisation ( $\infty-\infty$ form)

$\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr).$ We multiply and divide by the conjugate $\sqrt{x^2+x}+x$: $= \lim\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim\frac{x}{x\left(\sqrt{1+1/x}+1\right)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.$

After rationalising, by factoring out $x$ (for $x\to+\infty$) under the root and in the denominator, the indeterminate form resolves into a finite value.

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