Il concetto intuitivo di limite

Il limite descrive il comportamento tendenziale di una funzione: dove “va” $f(x)$ quando $x$ si avvicina a un punto (o all’infinito), indipendentemente dal valore che la funzione assume in quel punto. Combinando i due modi in cui può tendere $x$ (verso un numero finito o verso l’infinito) e i due modi in cui può tendere $f(x)$, si ottengono i quattro casi fondamentali.

• Definizione intuitiva di limite
• I quattro casi fondamentali

The limit describes the tendential behaviour of a function: where $f(x)$ “goes” when $x$ approaches a point (or infinity), independently of the value the function takes at that point. By combining the two ways in which $x$ can tend (towards a finite number or towards infinity) and the two ways in which $f(x)$ can tend, one obtains the four fundamental cases.

• Intuitive definition of a limit
• The four fundamental cases

Definizione — Limite intuitivo

Diciamo che $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ se, al tendere di $x$ verso $x_0$ (senza raggiungerlo), i valori $f(x)$ si avvicinano arbitrariamente a $L$.

Osservazione

Il limite descrive il comportamento tendenziale di una funzione vicino a un punto (o all’infinito), non il valore della funzione in quel punto. È possibile che $f(x_0)$ non esista, oppure che esista ma sia diverso da $L$: il limite “guarda” solo cosa succede attorno a $x_0$, non in $x_0$.

Questa distinzione è il cuore del concetto: proprio perché il limite ignora il valore in $x_0$ (e usa l’intorno bucato), può descrivere il comportamento di funzioni che in $x_0$ non sono nemmeno definite.

Esplora la definizione con la simulazione: dalla tabella puoi passare tra i quattro casi di limite ($x$ che tende a un valore finito $c$ oppure a $\infty$; $f(x)$ che tende a un valore finito $L$ oppure a $\infty$). Nel primo caso la funzione $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ non è definita in $x=2$, eppure il limite per $x \to 2$ esiste e vale $4$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Limite

Definition — Intuitive limit

We say that $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ if, as $x$ tends towards $x_0$ (without reaching it), the values $f(x)$ approach $L$ arbitrarily closely.

Remark

The limit describes the tendential behaviour of a function near a point (or at infinity), not the value of the function at that point. It is possible that $f(x_0)$ does not exist, or that it exists but differs from $L$: the limit “looks” only at what happens around $x_0$, not at $x_0$.

This distinction is the heart of the concept: precisely because the limit ignores the value at $x_0$ (and uses the punctured neighbourhood), it can describe the behaviour of functions that at $x_0$ are not even defined.

Explore the definition with the simulation: from the table you can switch among the four limit cases ($x$ tending to a finite value $c$ or to $\infty$; $f(x)$ tending to a finite value $L$ or to $\infty$). In the first case the function $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ is not defined at $x=2$, yet the limit as $x \to 2$ exists and equals $4$.

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Topics: Limits
Concepts: Limit

A seconda di come tende $x$ (a un numero finito o all’infinito) e di come tende $f(x)$, si distinguono quattro casi fondamentali.

Il grafico della funzione $f(x) = \dfrac{1}{x-2}+1$ mostra due di questi comportamenti contemporaneamente: un asintoto verticale in $x=2$ e un asintoto orizzontale in $y=1$.

Per $x\to 2^-$ la funzione tende a $-\infty$ (asintoto verticale); per $x\to 2^+$ tende a $+\infty$; per $x\to\pm\infty$ tende a $1$ (asintoto orizzontale).

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Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Infinito · Limite · Limite destro sinistro
Competenze: Interpretare grafico

Depending on how $x$ tends (to a finite number or to infinity) and on how $f(x)$ tends, four fundamental cases are distinguished.

The graph of the function $f(x) = \dfrac{1}{x-2}+1$ shows two of these behaviours simultaneously: a vertical asymptote at $x=2$ and a horizontal asymptote at $y=1$.

As $x\to 2^-$ the function tends to $-\infty$ (vertical asymptote); as $x\to 2^+$ it tends to $+\infty$; as $x\to\pm\infty$ it tends to $1$ (horizontal asymptote).

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Topics: Limits
Concepts: Asymptote · Horizontal asymptote · Vertical asymptote · Infinity · Limit · Right and left limit
Skills: Interpreting a graph