Gerarchia degli infiniti

Per $x\to+\infty$ le funzioni elementari tendono all’infinito con velocità diverse. Ordinarle dalla più lenta alla più veloce permette di sciogliere immediatamente molte forme indeterminate $\infty/\infty$: la funzione “più lenta” è trascurabile rispetto alla “più veloce”.

• La scala degli infiniti
• Esempi con la gerarchia

As $x\to+\infty$ the elementary functions tend to infinity at different speeds. Ordering them from the slowest to the fastest allows one to resolve immediately many indeterminate $\infty/\infty$ forms: the “slower” function is negligible compared with the “faster” one.

• The scale of infinities
• Examples with the hierarchy

Proprietà — Gerarchia degli infiniti

Per $x\to+\infty$ le funzioni elementari crescono con velocità diverse. L’ordine è $\log x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x! \ll x^x,\qquad (\alpha>0,\ a>1).$ Il simbolo $f\ll g$ significa $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$: la funzione “più lenta” è trascurabile rispetto alla “più veloce”.

In pratica: il logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza; ogni potenza cresce più lentamente di ogni esponenziale (con base $>1$); l’esponenziale è battuto dal fattoriale, e questo da $x^x$. In una forma $\infty/\infty$ “vince” sempre il termine più in alto nella scala.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Gerarchia degli infiniti · Infinito
Metodi: Limiti confronto
Competenze: Calcolare limiti

Property — Hierarchy of infinities

As $x\to+\infty$ the elementary functions grow at different speeds. The order is $\log x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x! \ll x^x,\qquad (\alpha>0,\ a>1).$ The symbol $f\ll g$ means $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$: the “slower” function is negligible compared with the “faster” one.

In practice: the logarithm grows more slowly than every power; every power grows more slowly than every exponential (with base $>1$); the exponential is beaten by the factorial, and this by $x^x$. In an $\infty/\infty$ form the term highest in the scale always “wins”.

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Methods: Limits by comparison
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Esempio — Confronto tra potenze ed esponenziali

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+2x}{e^x} = 0, \qquad \text{perché } x^3 \ll e^x.$ $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^{100}} = +\infty, \qquad \text{perché } x^{100}\ll 3^x.$

Nel primo caso il denominatore (esponenziale) cresce infinitamente più in fretta del numeratore (polinomio): il rapporto tende a $0$. Nel secondo caso è il numeratore (esponenziale) a prevalere su qualunque potenza, anche $x^{100}$: il rapporto tende a $+\infty$.

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Example — Comparison between powers and exponentials

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+2x}{e^x} = 0, \qquad \text{perché } x^3 \ll e^x.$ $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^{100}} = +\infty, \qquad \text{perché } x^{100}\ll 3^x.$

In the first case the denominator (exponential) grows infinitely faster than the numerator (polynomial): the ratio tends to $0$. In the second case it is the numerator (exponential) that prevails over any power, even $x^{100}$: the ratio tends to $+\infty$.

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