Apertura storica - i paradossi di Zenone

Nel V secolo a.C. il filosofo greco Zenone di Elea formulò alcuni paradossi che mettevano in crisi l’idea di movimento: Achille non raggiungerebbe mai la tartaruga, la freccia non arriverebbe mai al bersaglio. Il paradosso nasce dal sommare infiniti termini; la sua soluzione è che una tale somma può avere valore finito. È esattamente la sostanza del concetto di limite, che i Greci intuivano (serie geometriche, metodo di esaustione) ma che ricevette linguaggio rigoroso solo con Cauchy e Weierstrass nell’Ottocento.

• Achille e la tartaruga
• Il paradosso della freccia
• Dai paradossi al limite rigoroso

In the 5th century BC the Greek philosopher Zeno of Elea formulated some paradoxes that undermined the idea of motion: Achilles would never catch the tortoise, the arrow would never reach the target. The paradox arises from summing infinitely many terms; its solution is that such a sum can have a finite value. This is exactly the substance of the concept of the limit, which the Greeks intuited (geometric series, method of exhaustion) but which received rigorous language only with Cauchy and Weierstrass in the nineteenth century.

• Achilles and the tortoise
• The arrow paradox
• From the paradoxes to the rigorous limit

Il più celebre dei paradossi di Zenone contrappone Achille (velocissimo) e la tartaruga (lentissima). Se la tartaruga parte con un vantaggio, sostiene Zenone, Achille non potrà mai raggiungerla: ogni volta che Achille arriva dove era la tartaruga, lei è già avanzata un po’.

Storia — Achille e la tartaruga

Nel V secolo a.C. il filosofo greco Zenone di Elea formulò quattro paradossi che mettevano in crisi l’idea di movimento (Boyer). Nel più celebre, Achille non raggiungerebbe mai la tartaruga perché a ogni “ricongiungimento” resta sempre un piccolo vantaggio da colmare.

Mettiamo dei numeri: Achille corre a $10$ m/s, la tartaruga a $1$ m/s, con vantaggio iniziale di $100$ m. I tempi dei successivi “ricongiungimenti” sono

$t_1 = 10\,\text{s}\ (\text{Achille percorre }100\,\text{m},\ \text{la tartaruga }10\,\text{m}), \quad t_2 = 1\,\text{s}\ (10\to 11), \quad t_3 = 0{,}1\,\text{s},\ \ldots$

La somma di tutti questi tempi è una serie geometrica di ragione $1/10$:

$10 + 1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} 10^{1-k} = \frac{10}{1-1/10} = \frac{100}{9}\,\text{s} \approx 11{,}11\,\text{s}.$

Una somma di infiniti termini ha valore finito: questa è la risposta del limite. Achille raggiunge la tartaruga al tempo $100/9$ s, alla posizione $1000/9$ m.

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• Zeno’s Paradox — Numberphile

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Argomenti: Limiti
Concetti: Limite · Serie geometrica
Competenze: Modellizzare
Persone: Zenone

The most celebrated of Zeno’s paradoxes pits Achilles (very fast) against the tortoise (very slow). If the tortoise starts with a head start, Zeno argues, Achilles will never be able to catch it: every time Achilles reaches where the tortoise was, it has already advanced a little.

History — Achilles and the tortoise

In the 5th century BC the Greek philosopher Zeno of Elea formulated four paradoxes that undermined the idea of motion (Boyer). In the most famous one, Achilles would never catch the tortoise because at each “reconnection” there always remains a small gap to close.

Let us put in some numbers: Achilles runs at $10$ m/s, the tortoise at $1$ m/s, with an initial head start of $100$ m. The times of the successive “reconnections” are

$t_1 = 10\,\text{s}\ (\text{Achilles covers }100\,\text{m},\ \text{the tortoise }10\,\text{m}), \quad t_2 = 1\,\text{s}\ (10\to 11), \quad t_3 = 0{,}1\,\text{s},\ \ldots$

The sum of all these times is a geometric series with ratio $1/10$:

$10 + 1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} 10^{1-k} = \frac{10}{1-1/10} = \frac{100}{9}\,\text{s} \approx 11{,}11\,\text{s}.$

A sum of infinitely many terms has a finite value: this is the answer given by the limit. Achilles catches the tortoise at time $100/9$ s, at position $1000/9$ m.

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• Zeno’s Paradox — Numberphile

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Topics: Limits
Concepts: Limit · Geometric series
Skills: Modelling
People: Zeno

Una seconda versione del paradosso (detta dicotomia) riguarda una freccia che deve raggiungere un bersaglio.

Storia — Il paradosso della freccia (dicotomia)

Per arrivare al bersaglio a distanza $L$, la freccia deve prima percorrere $L/2$, poi $L/4$, poi $L/8$, e così via all’infinito. Sembra dunque che non possa mai arrivare.

Anche qui la somma di infiniti pezzi è una serie geometrica che converge a un valore finito:

$\frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{8} + \cdots = L.$

Il finito è somma di infiniti pezzi: la freccia arriva al bersaglio, e la matematica del limite lo conferma.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Limite · Serie geometrica
Persone: Zenone

A second version of the paradox (called the dichotomy) concerns an arrow that must reach a target.

History — The arrow paradox (dichotomy)

To reach the target at distance $L$, the arrow must first cover $L/2$, then $L/4$, then $L/8$, and so on to infinity. It therefore seems that it can never arrive.

Here too the sum of infinitely many pieces is a geometric series that converges to a finite value:

$\frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{8} + \cdots = L.$

The finite is the sum of infinitely many pieces: the arrow reaches the target, and the mathematics of the limit confirms it.

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Topics: Limits
Concepts: Limit · Geometric series
People: Zeno

Lo strumento matematico che chiude i paradossi di Zenone si chiama limite. Quando i Greci scrivevano che una serie geometrica di ragione $|r|<1$ ha somma

$S = \frac{a}{1-r},$

e quando Archimede usava il metodo di esaustione per calcolare aree, sapevano già la sostanza del problema. Quello che mancava era il linguaggio formale per dire cosa significa che “infiniti termini sommano un numero finito”.

Questo linguaggio — la definizione $\varepsilon$-$\delta$ del limite — arriva con Cauchy e Weierstrass nel XIX secolo, ed è il punto di partenza di tutto il capitolo (Boyer). Per l’inquadramento del metodo di esaustione di Eudosso e Archimede si veda anche Netz.

Osservazione — Un aggancio già visto

Il caso particolare delle serie geometriche di aree è già stato incontrato in Seconda: è l’aggancio concreto che ora generalizziamo con il concetto di limite.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Limite · Serie geometrica
Persone: Archimede · Augustin-Louis Cauchy · Karl Weierstrass

The mathematical tool that resolves Zeno’s paradoxes is called the limit. When the Greeks wrote that a geometric series with ratio $|r|<1$ has sum

$S = \frac{a}{1-r},$

and when Archimedes used the method of exhaustion to compute areas, they already knew the substance of the problem. What was missing was the formal language to say what it means that “infinitely many terms sum to a finite number”.

This language — the $\varepsilon$-$\delta$ definition of the limit — arrives with Cauchy and Weierstrass in the 19th century, and it is the starting point of the whole chapter (Boyer). For the context of Eudoxus’s and Archimedes’s method of exhaustion see also Netz.

Observation — A connection already seen

The particular case of geometric series of areas has already been met in Year Two: it is the concrete connection that we now generalise with the concept of the limit.

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Topics: Limits
Concepts: Limit · Geometric series
People: Archimedes · Augustin-Louis Cauchy · Karl Weierstrass