Probabilità avanzata

La probabilità traduce in numeri la nostra incertezza sul verificarsi di un evento: il valore $0$ significa “impossibile”, il valore $1$ “certo”, e tutto ciò che sta in mezzo descrive un’incertezza di grado variabile. Questo capitolo presenta la probabilità in modo sistematico, partendo dalle definizioni di base (evento, spazio campione, partizione, assiomi di Kolmogorov) e arrivando ai teoremi più potenti (probabilità totale, Bayes), agli strumenti grafici equivalenti (diagramma ad albero, diagramma di Venn, tabella di contingenza) e infine alle distribuzioni discrete (schema di Bernoulli e distribuzione binomiale), al valore atteso con le sue applicazioni a scommesse e teoria dei giochi, e a un’appendice di statistica descrittiva. Chiude il capitolo una galleria di paradossi classici che mostrano quanto l’intuizione, in probabilità, sia spesso ingannevole.

Sezioni

• Spazio campione, eventi, partizione
• Definizione di probabilità
• Eventi incompatibili e indipendenti
• Probabilità condizionata e correlazione
• Diagramma ad albero
• Probabilità totale, Bayes e inversione dell’albero
• Diagramma di Venn e tabella di contingenza
• Esempi svolti con Venn e tabella
• Test diagnostici
• Tre rappresentazioni equivalenti
• Combinatoria e probabilità
• Distribuzione binomiale
• Valore atteso e gioco equo
• Giochi aleatori a un giocatore
• Giochi a due giocatori
• Statistica descrittiva e sondaggi

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Approfondimenti

• Pascal, Fermat e il problema dei punti
• Paradossi famosi della probabilità

Probability turns our uncertainty about whether an event occurs into numbers: the value $0$ means “impossible”, the value $1$ “certain”, and everything in between describes uncertainty of varying degree. This chapter presents probability systematically, starting from the basic definitions (event, sample space, partition, Kolmogorov’s axioms) and reaching the most powerful theorems (total probability, Bayes), the equivalent graphical tools (tree diagram, Venn diagram, contingency table) and finally the discrete distributions (the Bernoulli scheme and the binomial distribution), expected value with its applications to betting and game theory, and an appendix on descriptive statistics. The chapter closes with a gallery of classic paradoxes showing how often our intuition, in probability, is misleading.

Sections

• Sample space, events, partition
• Definition of probability
• Mutually exclusive and independent events
• Conditional probability and correlation
• Tree diagram
• Total probability, Bayes and inverting the tree
• Venn diagram and contingency table
• Worked examples with Venn and table
• Diagnostic tests
• Three equivalent representations
• Combinatorics and probability
• Binomial distribution
• Expected value and fair games
• Games of chance for one player
• Two-player games
• Descriptive statistics and surveys

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Further reading

• Pascal, Fermat and the problem of points
• Famous paradoxes of probability

La probabilità come disciplina matematica ha una data di nascita sorprendentemente precisa e un’origine curiosa: il tavolo da gioco.

Storia — Pascal, Fermat e il problema dei punti

La probabilità nasce, come disciplina matematica, da un carteggio del 1654 tra due francesi: Blaise Pascal (1623–1662) e Pierre de Fermat (1607–1665). Il pretesto fu un problema posto al filosofo Pascal dal Cavalier de Méré, un giocatore d’azzardo: come si devono dividere equamente le poste di un gioco interrotto prima del suo termine? (Il celebre “problema dei punti”).

Pascal e Fermat, affrontando la questione per via epistolare, arrivarono indipendentemente alla stessa soluzione — ma lo fecero introducendo il concetto fondamentale di valore atteso e ragionando in modo sistematico sulle possibilità future del gioco. È in queste lettere che, per la prima volta, si trova un’idea chiara di ciò che oggi chiamiamo probabilità: non più una nozione vaga di “fortuna”, ma un calcolo razionale basato sull’enumerazione dei casi favorevoli e possibili. Il libro che cristallizzò la nuova disciplina, Ars conjectandi di Jakob Bernoulli, sarebbe arrivato solo postumo nel 1713 (Boyer, cap. 14); per una storia delle idee si veda anche Kline (cap. 21).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Probabilita · Valore atteso
Persone: Jacob Bernoulli · Pierre de Fermat · Blaise Pascal

Probability as a mathematical discipline has a surprisingly precise birth date and a curious origin: the gaming table.

History — Pascal, Fermat and the problem of points

Probability was born, as a mathematical discipline, from a correspondence of 1654 between two Frenchmen: Blaise Pascal (1623–1662) and Pierre de Fermat (1607–1665). The pretext was a problem posed to the philosopher Pascal by the Chevalier de Méré, a gambler: how should the stakes of a game interrupted before its end be divided fairly? (The famous “problem of points”).

Pascal and Fermat, tackling the question by letter, independently reached the same solution — but they did so by introducing the fundamental concept of expected value and by reasoning systematically about the future possibilities of the game. It is in these letters that, for the first time, one finds a clear idea of what today we call probability: no longer a vague notion of “luck”, but a rational calculation based on the enumeration of favourable and possible cases. The book that crystallised the new discipline, Ars conjectandi by Jakob Bernoulli, would arrive only posthumously in 1713 (Boyer, ch. 14); for a history of the ideas see also Kline (ch. 21).

Links

Topics: Probability
Concepts: Probability · Expected value
People: Jacob Bernoulli · Pierre de Fermat · Blaise Pascal

Due parole che è facile confondere, ma che indicano situazioni del tutto diverse, sono “incompatibili” e “indipendenti”.

Definizione — Eventi incompatibili e indipendenti

• Due eventi $A$ e $B$ si dicono incompatibili (o mutuamente esclusivi) se non possono verificarsi contemporaneamente, cioè $P(A \cap B) = 0$.
• Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non influenza la probabilità dell’altro, cioè $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$

Attenzione

Non confondere “incompatibili” con “indipendenti”! Sono concetti opposti: se $A$ e $B$ sono incompatibili (e entrambi hanno probabilità non nulla), allora $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B)$, quindi non sono indipendenti — anzi, sapere che $A$ è avvenuto esclude $B$.

Esempio — Verifica di indipendenza

Sia $P(A) = 0,2$, $P(B) = 0,2$, $P(A \cap B) = 0,1$. Sono indipendenti?

Calcoliamo $P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$, mentre $P(A \cap B) = 0,1$. Poiché $0,1 \neq 0,04$, gli eventi non sono indipendenti.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Eventi incompatibili · Eventi indipendenti · Probabilita
Competenze: Calcolo probabilita

Two words that are easy to confuse, but which describe entirely different situations, are “mutually exclusive” and “independent”.

Definition — Mutually exclusive and independent events

• Two events $A$ and $B$ are said to be mutually exclusive (or incompatible) if they cannot occur at the same time, that is, $P(A \cap B) = 0$.
• Two events $A$ and $B$ are said to be independent if the occurrence of one does not affect the probability of the other, that is, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$

Careful

Do not confuse “mutually exclusive” with “independent”! They are opposite concepts: if $A$ and $B$ are mutually exclusive (and both have non-zero probability), then $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B)$, so they are not independent — indeed, knowing that $A$ has occurred rules out $B$.

Example — Checking for independence

Let $P(A) = 0,2$, $P(B) = 0,2$, $P(A \cap B) = 0,1$. Are they independent?

We compute $P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$, whereas $P(A \cap B) = 0,1$. Since $0,1 \neq 0,04$, the events are not independent.

Links

Topics: Probability
Concepts: Mutually exclusive events · Independent events · Probability
Skills: Calculating probability

Il diagramma ad albero è lo strumento grafico standard per visualizzare e calcolare probabilità in esperimenti a più stadi. Convenzione fondamentale: sui rami dell’albero compaiono sempre delle probabilità condizionate, mai numeri sciolti. Più precisamente:

• al primo livello, i rami escono dalla radice e portano gli eventi del primo esperimento, con i pesi $P(A_1), P(A_2), \ldots, P(A_n)$ delle probabilità marginali (assolute);
• al secondo livello, da ciascun nodo $A_i$ si dipartono rami che portano gli eventi $B_j$ con peso $P(B_j \mid A_i)$, la probabilità condizionata di $B_j$ avendo già osservato $A_i$;
• la probabilità di una foglia è il prodotto lungo il cammino: $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)$ (questo è proprio la formula del prodotto, ora letta geometricamente sull’albero).

Albero a due livelli per un test diagnostico: al primo livello la malattia $M$/$\overline{M}$ con probabilità marginali, al secondo livello l’esito del test $T^+$/$T^-$ con probabilità condizionate; in rosso le probabilità delle foglie.

Lettura. Al primo livello si separa la popolazione in $M$/$\overline{M}$ con probabilità marginali $P(M) = 0,001$ e $P(\overline{M}) = 0,999$. Al secondo livello, per ciascun ramo, si separa in $T^+$/$T^-$ con le probabilità condizionate: $P(T^+ \mid M) = 0,99$, $P(T^+ \mid \overline{M}) = 0,02$, ecc. La probabilità di un evento “foglia” è il prodotto delle probabilità lungo il cammino: $P(M \cap T^+) = 0,001 \cdot 0,99 = 0,00099$ e $P(\overline{M} \cap T^+) = 0,999 \cdot 0,02 = 0,01998$ (in rosso a fianco delle foglie).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Formula del prodotto · Probabilita condizionata
Metodi: Diagramma albero
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare

The tree diagram is the standard graphical tool for visualising and computing probabilities in multi-stage experiments. Fundamental convention: conditional probabilities always appear on the branches of the tree, never loose numbers. More precisely:

• at the first level, the branches leave the root and carry the events of the first experiment, with the weights $P(A_1), P(A_2), \ldots, P(A_n)$ of the marginal (absolute) probabilities;
• at the second level, from each node $A_i$ branches depart carrying the events $B_j$ with weight $P(B_j \mid A_i)$, the conditional probability of $B_j$ having already observed $A_i$;
• the probability of a leaf is the product along the path: $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)$ (this is precisely the product formula, now read geometrically on the tree).

Two-level tree for a diagnostic test: at the first level the disease $M$/$\overline{M}$ with marginal probabilities, at the second level the test outcome $T^+$/$T^-$ with conditional probabilities; in red the leaf probabilities.

Reading. At the first level the population is split into $M$/$\overline{M}$ with marginal probabilities $P(M) = 0,001$ and $P(\overline{M}) = 0,999$. At the second level, for each branch, it splits into $T^+$/$T^-$ with the conditional probabilities: $P(T^+ \mid M) = 0,99$, $P(T^+ \mid \overline{M}) = 0,02$, and so on. The probability of a “leaf” event is the product of the probabilities along the path: $P(M \cap T^+) = 0,001 \cdot 0,99 = 0,00099$ and $P(\overline{M} \cap T^+) = 0,999 \cdot 0,02 = 0,01998$ (in red beside the leaves).

Links

Topics: Probability
Concepts: Tree diagram · Product formula · Conditional probability
Methods: Tree diagram
Skills: Calculating probability · Modelling