Giochi aleatori a un giocatore

Un gioco aleatorio a un solo giocatore — una lotteria — mette il decisore di fronte al caso: sceglie un’azione e l’esito dipende dalla sorte. Formalmente è una variabile aleatoria con vincite associate, e il suo valore atteso è il principale parametro di decisione. Ma il valore atteso non spiega tutto: confrontando una lotteria vantaggiosa con un guadagno certo emerge l’avversione al rischio, la tendenza a preferire il certo anche quando l’incerto rende di più in media.

• Lotteria come variabile aleatoria
• Esempio — Lotteria contro alternativa sicura
• Esempio — Lotteria equa e neutralità al rischio

A single-player random game — a lottery — puts the decision-maker face to face with chance: they choose an action and the outcome depends on luck. Formally it is a random variable with associated winnings, and its expected value is the main decision parameter. But the expected value does not explain everything: comparing an advantageous lottery with a certain gain brings out risk aversion, the tendency to prefer the certain even when the uncertain yields more on average.

• A lottery as a random variable
• Example — Lottery against a sure alternative
• Example — Fair lottery and risk neutrality

Prima di decidere conviene modellizzare: una lotteria non è che una variabile aleatoria a cui sono attaccate delle vincite.

Osservazione — Una lotteria è una variabile aleatoria con vincite

Un gioco aleatorio a un giocatore (o lotteria) è una situazione in cui il giocatore sceglie un’azione e l’esito dipende dal caso. Formalmente: una variabile aleatoria $X$ con esiti $e_1,\ldots,e_n$ di probabilità $p_i=P(e_i)$ e vincite (positive o negative) $v_i$. Il valore atteso $\bar V = \sum p_i v_i$ è il principale parametro decisionale: “in media quanto vinco”.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Lotteria · Valore atteso · Variabile aleatoria
Metodi: Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare

Before deciding it is worth modelling: a lottery is nothing but a random variable to which winnings are attached.

Remark — A lottery is a random variable with winnings

A single-player random game (or lottery) is a situation in which the player chooses an action and the outcome depends on chance. Formally: a random variable $X$ with outcomes $e_1,\ldots,e_n$ of probability $p_i=P(e_i)$ and winnings (positive or negative) $v_i$. The expected value $\bar V = \sum p_i v_i$ is the main decision parameter: “on average how much do I win”.

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Topics: Probability
Concepts: Lottery · Expected value · Random variable
Methods: Expected value
Skills: Probability calculation · Modelling

Confrontando una lotteria con un guadagno certo si scopre che il valore atteso non basta a spiegare le scelte reali: entra in gioco l’atteggiamento verso il rischio.

Esempio — Scelta tra lotteria e alternativa sicura

Mi propongono due scommesse:

• Lotteria $L$: lancio una moneta equa; se testa vinco $200$ EUR, se croce perdo $80$ EUR.
• Sicuro $S$: ricevo $50$ EUR in mano, senza incertezza.

Confronto via valore atteso. $\bar V_L = \tfrac{1}{2}\cdot 200 + \tfrac{1}{2}\cdot(-80) = 100 - 40 = 60 \text{ EUR},\qquad \bar V_S = 50 \text{ EUR}.$ La lotteria è “migliore” in media: $\bar V_L=60 > 50 = \bar V_S$. Ma molte persone scelgono comunque $S$: questa preferenza per “il certo” anche a costo di un valore atteso minore si chiama avversione al rischio. È un fenomeno empirico (e modellato con la funzione di utilità di Bernoulli/Von Neumann-Morgenstern, ma qui ci limitiamo al confronto del valore atteso).

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Avversione al rischio · Valore atteso · Variabile aleatoria
Metodi: Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare

Comparing a lottery with a certain gain, one discovers that the expected value is not enough to explain real choices: one’s attitude towards risk comes into play.

Example — Choice between a lottery and a sure alternative

I am offered two bets:

• Lottery $L$: I toss a fair coin; if heads I win $200$ EUR, if tails I lose $80$ EUR.
• Sure $S$: I receive $50$ EUR in hand, with no uncertainty.

Comparison via expected value. $\bar V_L = \tfrac{1}{2}\cdot 200 + \tfrac{1}{2}\cdot(-80) = 100 - 40 = 60 \text{ EUR},\qquad \bar V_S = 50 \text{ EUR}.$ The lottery is “better” on average: $\bar V_L=60 > 50 = \bar V_S$. Yet many people still choose $S$: this preference for “the certain” even at the cost of a lower expected value is called risk aversion. It is an empirical phenomenon (and modelled with the utility function of Bernoulli/Von Neumann–Morgenstern, but here we limit ourselves to comparing the expected value).

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Topics: Probability
Concepts: Risk aversion · Expected value · Random variable
Methods: Expected value
Skills: Probability calculation · Modelling

Quando la lotteria è a media nulla, il confronto con un piccolo guadagno certo mette in luce cosa fa un decisore neutrale al rischio.

Esempio — Quando la lotteria è equa, conviene il certo?

Variante: nella lotteria vinco $100$ EUR con prob. $1/2$ e perdo $100$ EUR con prob. $1/2$. Allora $\bar V_L = 0$ EUR. Se l’alternativa sicura paga anche solo $1$ EUR, ha valore atteso maggiore. Un razionale neutrale al rischio prende sempre il certo se la lotteria è a media nulla. (Le scommesse del casinò sono a $\bar V_L<0$: il razionale non gioca mai.)

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Avversione al rischio · Gioco equo · Valore atteso
Metodi: Gioco equo
Competenze: Calcolo probabilita

When the lottery has zero mean, comparing it with a small certain gain highlights what a risk-neutral decision-maker does.

Example — When the lottery is fair, is the certain option preferable?

Variant: in the lottery I win $100$ EUR with prob. $1/2$ and lose $100$ EUR with prob. $1/2$. Then $\bar V_L = 0$ EUR. If the sure alternative pays even just $1$ EUR, it has a greater expected value. A risk-neutral rational agent always takes the certain option if the lottery has zero mean. (Casino bets have $\bar V_L<0$: the rational agent never plays.)

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Concepts: Risk aversion · Fair game · Expected value
Methods: Fair game
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