Diagramma di Venn e tabella di contingenza

Quasi ogni problema di probabilità con due eventi $A$ e $B$ si può affrontare con due strumenti equivalenti: il diagramma di Venn a quattro regioni e la tabella di contingenza. Saper passare dall’uno all’altra è la mossa vincente per organizzare i dati, individuare le probabilità congiunte e marginali e ricavare quelle mancanti con semplici somme.

• Diagramma di Venn a quattro regioni
• Tabella di contingenza

Almost every probability problem with two events $A$ and $B$ can be tackled with two equivalent tools: the four-region Venn diagram and the contingency table. Being able to move from one to the other is the winning move for organising the data, identifying the joint and marginal probabilities and obtaining the missing ones through simple sums.

• Four-region Venn diagram
• Contingency table

Quasi ogni problema di probabilità con due eventi $A$ e $B$ si può trattare con due strumenti equivalenti: il diagramma di Venn (a quattro regioni) o la tabella di contingenza. Saper passare dall’uno all’altra è la mossa vincente.

Lo spazio campione è un rettangolo; i due eventi sono due ovali sovrapposti. Le quattro regioni si chiamano $x, y, z, t$:

Lo spazio campione $\Omega$ è il rettangolo; i due eventi $A$ e $B$ sono ovali sovrapposti che individuano quattro regioni $x, y, z, t$.

Le quattro regioni rappresentano le quattro probabilità congiunte:

• $x = P(A\cap\overline{B})$   (“solo $A$”)
• $y = P(A\cap B)$   (“entrambi”)
• $z = P(\overline{A}\cap B)$   (“solo $B$”)
• $t = P(\overline{A}\cap\overline{B})$   (“né $A$ né $B$”)

Le quattro quantità devono soddisfare il vincolo di normalizzazione:

$x + y + z + t = 1,$

e inoltre da esse si ricavano le probabilità marginali e le probabilità di unione e intersezione:

$P(A) = x+y, \quad P(B) = y+z, \quad P(A\cap B) = y, \quad P(A\cup B) = x+y+z.$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma di venn · Probabilita congiunta · Probabilita marginale
Metodi: Diagramma venn prob
Competenze: Calcolo probabilita · Interpretare grafico

Almost every probability problem with two events $A$ and $B$ can be handled with two equivalent tools: the (four-region) Venn diagram or the contingency table. Being able to move from one to the other is the winning move.

The sample space is a rectangle; the two events are two overlapping ovals. The four regions are called $x, y, z, t$:

The sample space $\Omega$ is the rectangle; the two events $A$ and $B$ are overlapping ovals that mark out four regions $x, y, z, t$.

The four regions represent the four joint probabilities:

• $x = P(A\cap\overline{B})$   (“only $A$”)
• $y = P(A\cap B)$   (“both”)
• $z = P(\overline{A}\cap B)$   (“only $B$”)
• $t = P(\overline{A}\cap\overline{B})$   (“neither $A$ nor $B$”)

The four quantities must satisfy the normalisation constraint:

$x + y + z + t = 1,$

and moreover from them the marginal probabilities and the probabilities of union and intersection are obtained:

$P(A) = x+y, \quad P(B) = y+z, \quad P(A\cap B) = y, \quad P(A\cup B) = x+y+z.$

Links

Topics: Probability
Concepts: Venn diagram · Joint probability · Marginal probability
Methods: Venn diagram prob
Skills: Calculating probability · Interpreting a graph

La stessa informazione del diagramma di Venn si può disporre in una tabella $2\times 2$, dove le somme di riga e di colonna danno automaticamente le probabilità marginali:

• Le quattro celle interne sono le probabilità congiunte $P(A\cap B)$, $P(\overline{A}\cap B)$, $P(A\cap\overline{B})$, $P(\overline{A}\cap\overline{B})$.
• I totali di riga e di colonna sono le probabilità marginali.
• La somma totale è sempre $1$.

Osservazione

La tabella di contingenza è particolarmente comoda quando si conoscono percentuali del tipo “chi ha la caratteristica $A$ tra quelli che hanno $B$” (cioè una probabilità condizionata): basta riempire una cella per riga e ricavare le altre con le somme.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Probabilita condizionata · Probabilita congiunta · Probabilita marginale · Tabella di contingenza
Metodi: Tabella contingenza
Competenze: Calcolo probabilita

The same information as the Venn diagram can be arranged in a $2\times 2$ table, where the row and column sums automatically give the marginal probabilities:

• The four inner cells are the joint probabilities $P(A\cap B)$, $P(\overline{A}\cap B)$, $P(A\cap\overline{B})$, $P(\overline{A}\cap\overline{B})$.
• The row and column totals are the marginal probabilities.
• The overall sum is always $1$.

Observation

The contingency table is particularly handy when we know percentages of the type “who has characteristic $A$ among those who have $B$” (that is, a conditional probability): it is enough to fill in one cell per row and obtain the others through the sums.

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Topics: Probability
Concepts: Conditional probability · Joint probability · Marginal probability · Contingency table
Methods: Contingency table
Skills: Probability calculation